控制系统--线性定常数系统的传递函数

定义

在零初始条件下，系统输出量与输入量之比的Laplace transform
其中零初始状态表明
1. 在t=0t=0t=0时刻输入量作用于系统，在此之前为0
2. 在输入量作用之前，系统输出为0
描述形式
1. 多项式形式
  H(s)=b0sm+b−1sm−1+⋯bm−1s+bma0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+anH(s) =\frac{b_0s^m+b-1s^{m-1}+\cdots b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n} H(s)=a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+anb0sm+b−1sm−1+⋯bm−1s+bm
  通常H(s)H(s)H(s)为真分式，也就是n≥mn\ge mn≥m，且各项系数均为实数，这样的传递函数才具有物理可实现性。系数均为实数不用过多解释，没有人能给我2i个小姐姐；分母阶次要高于分子阶次是因为系统具有惯性，如果超过则对应一个超前部分，这是非因果的，显然是物理不可实现
2. 根轨迹
  H(s)=b0(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)a0(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)=K∏i=1m(s−zi)∏j=1n(s−pj)H(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}=K\frac{\prod_{i=1}^m (s-z_i)}{\prod_{j=1}^n (s-p_j)} H(s)=a0(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)b0(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)=K∏j=1n(s−pj)∏i=1m(s−zi)
3. 频率法形式
  H(s)=bm(τ1s+1)(τ2s+1)⋯(τxs+1)(τ112s2+τ12s+1)⋯(τy12+τy2s+1)an(T1s+1)(T2s+1⋯(Tps+1)(T112s2+T12+1)⋯(Tq12s2+Tq2s+1)H(s)=\frac{b_m(\tau_1 s+1)(\tau_2 s +1 )\cdots (\tau_x s+1)(\tau^2_{11}s^2+\tau_{12}s+1)\cdots (\tau^2_{y1}+\tau_{y2}s+1)}{a_n(T_1s+1)(T_2s+1\cdots(T_ps+1)(T^2_{11}s^2+T_{12}+1)\cdots(T^2_{q1}s^2+T_{q2}s+1)} H(s)=an(T1s+1)(T2s+1⋯(Tps+1)(T112s2+T12+1)⋯(Tq12s2+Tq2s+1)bm(τ1s+1)(τ2s+1)⋯(τxs+1)(τ112s2+τ12s+1)⋯(τy12+τy2s+1)
性质
1. 传递函数仅仅由系统内部结构有关，与输入无关
2. 传递函数可视为黑盒模型，描述输入输出关系，反应该系统对外界输入的响应，略去了内部结构
3. 传递函数与微分方程及初始条件一一对应
4. 初值不同，对同一输入可能导致输出不同(蝴蝶效应) 在零状态下不做过多讨论，仅了解

最后，特别指出，以单位脉冲信号δ(t)\delta(t)δ(t)作为输入时所输出的单位冲激响应h(t)h(t)h(t)与传递函数H(s)H(s)H(s)为拉普拉斯变换对

g(t)=δ(t)∗h(t)→G(s)=1⋅H(s)g(t)=\delta(t) * h(t) \to G(s) = 1 \cdot H(s) g(t)=δ(t)∗h(t)→G(s)=1⋅H(s)

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