分形

几何学术语

分形(几何学术语)

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。分形(Fractal)一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

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简介

由来

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概况

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简介

“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒 分形理论是在上世纪70年代由芒德布罗几乎集一己之力创立的，但其严格的数学基础之一——芒德布罗集，却是70年代末芒德布罗及布鲁克斯、马蒂尔斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯顿等人几乎同时分别建立完善的，他们的思想都源自上世纪前叶一些前辈如法图、莱维、朱利亚的有关思想。 中文文献中芒德布罗的译名一直不统一，芒德布罗本人使用的中文名字是“本华·曼德博”，可见于其耶鲁大学网站个人主页照片，为竖排繁体汉字手写体。全国科学技术名词审定委员会在数学、物理学、力学等几个学科术语的译名中，使用的都是“芒德布罗”。本华·曼德博(1924－2010，法语原文Beno?t B. Mandelbrot)，生于波兰的立陶宛裔犹太家庭，主要成长教育经历是在法国完成的，后长期在美国工作。如果追求音译的准确，还应考虑Mandelbrot姓氏最初的来源，这是一个明显地具有阿什肯那兹犹太姓氏特征的姓(德语“杏仁”+“面包”)。 分形现已成为应用极为广泛的学科。芒德布罗个人风格独特，对各类看似“无定形”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过中国大陆一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合(芒德布罗本人习用法语)。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。 现今人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托尔集、谢尔宾斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波兰数学家)及门格奶酪或称门格海绵(Menger，1902-1985，为著名经济学家门格之子)，它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫曲线(H.von Koch,1870-1924，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限！ 分形作为一种数学工具，现已应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。

由来

据芒德布罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”)。此外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根。在70年代中期以前，芒德布罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

探讨

几何学

分形几何与传统几何相比有什么特点： ⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 ⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的'边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有： a^D=b,D=(ln b)/(ln a) 的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数(即分数)了，所以存在分维。Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的 形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

概况

定义

芒德布罗曾经为分形下过两个定义： (1)满足下式条件 Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数)，dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。 (2)部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 分形一般有以下特质： 在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； (至少是大略或任意地)自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数(但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外)； 有著简单的递归定义。 (i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 (ii)分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (iii)分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (iv)一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (v)在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

意义

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

张济忠著图书

分形(张济忠著图书)

目录

简介

目录

简介

《分形(第2版)》是《分形》的第2版，第1版在1995年8月由清华大学出版社出版。《分形(第2版)》以自然界中普遍存在的非平衡非线性复杂系统中自发形成的各种时空有序状态(或结构)为研究对象，介绍了分形理论的基本概念、数学基础和研究方法，及其在凝聚态物理学、材料科学、化学、生物学、医学、地震学、经济学等学科中的应用。 《分形(第2版)》内容丰富、生动形象，并附有适量的计算机模拟程序，可作为对非平衡非线性研究感兴趣的各学科研究工作者学习分形理论的入门书，也可作为大学本科生和研究生学习分形理论的教材和参考书。

目录

绪论 第1章 非线性复杂系统与非线性热力学 1.1 自组织现象 1.2 自相似性 1.3 标度不变性 1.4 非线性非平衡态热力学 第2章 分形的数学基础 2.1 非欧氏几何学 2.2 Hausdorff测度和维数 2.3 维数的其他定义 2.4 非均匀线性变换 2.5 重正化群 第3章 经典分形与Mandelbrot集 3.1 Cantot集 3.2 Koch曲线 3.3 Sierpinski集 3.4 Julia集 3.5 Mandelbrot集 第4章 分形维数的测定 4.1 基该方法 4.1.1 改变观察尺度求维数 4.1.2 根据测度关系求维数 4.1.3 根据相关函数求维数 4.1.4 根据分布函数求维数 4.1.5 根据频谱求维数 4.2 盒维数 4.3 函数图的维数 4.4 码尺与分形维数的关系 第5章 产生分形的物理机制与生长模型 5.1 产生分形的物理机制 5.2 分形与混沌 5.3 分支与自组织 5.4 有限扩散凝聚(DI。A)模型 5.5 弹射凝聚(BA)模型 5.6 反应控制凝聚(RI。A)模型 5.7 粘性指延与渗流 第6章 分形生长的计算机模拟 6.1 DLA生长的Monte Carlo模拟 6.2 DLCA生长模拟 6.3 各向异性DLA凝聚 6.4 扩散控制沉积的模拟 6.5 复杂生物形态的模拟 第7章 气固相变与分形 7.1 氧化钼的分形生长 7。2碘的分形生长 7.3 氧化钨的分形生长 7.4 核晶凝聚(NA)模型 第8章 分形生长的实验研究 8一合金薄膜 8.2 电解沉积 8.3 溅射凝聚 8.4 非晶态膜的晶化 8.5 粘性指延 8.6 电介质击穿 8.7 水溶液结晶 第9章 不同体系中的分形生长 9.1 氧化亚锡从结晶生长到分形生长 9.1.1 快速冷却 9.1.2 慢速冷却 9.2 猪胆汁从结晶生长到分形生长 9.3 人胆汁的分形生长 9.4 硼酸晶体的分形生长 9.5 真空中非晶碳的分形生长 9.6 电子辐照在聚丙烯中引发的分形生长 第10章 自组织生长 10.1 自然界的自组织生长 10.1.1 北极的地表砾石组成的环形图形 10.1.2 沙漠的有序图形 10.1.3 变幻莫测的云 10.1.4 人类基因DNA序列图 10.1.5 海贝壳 10.1.6 珊瑚表面的有序结构 10.2 氧化镉的自组织生长 第11章 分形理论的应用 11.1 生物学 11.2 地球物理学 11.3 物理学和化学 11.4 天文学 11.5 材料科学 11.6 计算机图形学 11.7 经济学 11.8 语言学与情报学 11.9 音乐 第12章 分形理论的发展 12.1 广义维数和广延维数 12.2 多重分形 12.3 分形子与无序系统 12.3.1 分形固体的振动(分形子的引入) 12.3.2 分形子的实验观察 12.3.3 分形子动力学理论 12.3.4 分形子与谱维数 12.4 小波变换的应用 12.5 涨落与有序 12.5.1 涨落 12.5.2 涨落和关联 12.5.3 涨落的放大 12.6 研究方向 附录计算机模拟源程序 参考文献

日产动画

分形(日产动画)

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基本信息

剧情介绍

基本信息

动漫名称：分形 英文名称：Fractale 动漫类型：日产动画 制作发行：东映 地区：日本 对白语言：日语发音 中文字幕 剧情类别：冒险 出品年份：2011 主　角：克劳岱尔

剧情介绍

自从能够管理世界的“Fractale System(分形系统)”完成以来，让人类在世上能够不需要工作就能生存下去，使他们能够真真正正地踏足于乐园之上。而这样的生活在持续了千年之后，这个时至今日仍然运作的系统，虽然仍在运行，却已经到达没有人能够解析的地步了。在这个乐园上，大多数的人都相信他们之所以拥有幸福，全因为这个系统仍在持续运行着。而故事的开端，就开始在Fractale System开始崩坏，于某大陆的某一小岛之上…… 详见百科词条 ：fractale

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