运输问题基本解 最小元素法
关于运输问题的理解这里就不在赘述了，百度上一搜就有很多介绍。
直接进入正题，怎么把算法写出来。这里只考虑运输平衡的运输问题，对应运输不平衡的问题先转换为运输平衡的问题然后解决。
最小元素法需要画一张表，表行标题是对应发货地，列标题是对应收货地点，另外多加一行对应每个收货地的收货量，多加一列对应每个发货地的发货量。
每个格子里有两个数，一个是已知的这个发货地给对应收货地点发货的费用单价dij，另外一个是要求的发货量xij。
收货地1 |
收货地2 |
收货地3 |
收货地4 |
总发货量 |
|
发货1 |
单位运价为 9 |
18 |
1 |
9 |
9 |
发货2 |
11 |
6 |
8 |
18 |
10 |
发货3 |
14 |
12 |
2 |
16 |
6 |
总收货量 |
4 |
9 |
7 |
5 |
供需平衡都是25 |
最小元素法的思想是找到运价最低的一个地方，优先给那里发货。就这么简单
输入：sNum,Rnum, 行数和列数
s[] , r[]总发货量和总收货量
d[][]单位费用数组
输出：
x[] []最后的结果
算法用到辅助变量ok[][] 这个地方已经确定发货量，初始都是0
算法：1）、如果R[j] = 0， 那么ok[k][j] = 1;k = 1, 2, sNum;
如果S[i] = 0, 那么ok[i][k] = 1;k = 1,2,rNum;
2）、如果所有ok[][]都是1 那么Ok计算结束
3）、遍历d[][];找到没有Ok地方里面最小费用的那个行位置和列位置 i， j；
4）、得X[I][J] = min(S[i], R[j]);
S[i] -= X[i][j];
R[j] -= X[i][j];
5)、转1）重新执行。
下面给出代码
typedef std::vector<double> VecDoubleType;
typedef std::vector<bool> VecBoolType;
const double g_dTol = 1.0E-3;/***********************************vecS *vecE *vecD *vecX 最后结果，***********************************/static void Cal(VecDoubleType vecS, VecDoubleType vecR, const VecDoubleType &vecD, VecDoubleType &vecX){const VecDoubleType::size_type iSSize = vecS.size(), iRSize = vecR.size(), iDSize = vecD.size();assert(iSSize * iRSize == iDSize);vecX.clear();VecBoolType vecOk;// 初始化VecDoubleType::size_type i = 0, j = 0;for (i = 0; i != iDSize; i++){vecOk.push_back(false);vecX.push_back(0.0);}while(true){CheakOk(vecS, vecR, vecOk);if (AllOk(vecOk)){break;}// 找到最小的距离VecDoubleType::size_type iMin = iSSize, jMin = iRSize;double dMinDis = 1.0E7;for (i = 0; i != iSSize; i++){for (j = 0; j != iRSize; j++){if (!vecOk[i * iRSize +j]){if (vecD[i * iRSize + j] - dMinDis < g_dTol){iMin = i;jMin = j;dMinDis = vecD[i * iRSize + j];}}}}assert(iMin != iSSize && jMin != iRSize);double dMinItem = min(vecS[iMin], vecR[jMin]);vecX[iMin * iRSize + jMin] = dMinItem;vecS[iMin] -= dMinItem;vecR[jMin] -= dMinItem;vecOk[iMin * iRSize + jMin] = true;}std::vector<VecDoubleType>::size_type iDIndex = 0;}static bool AllOk(const VecBoolType &vecOk){bool bAllOk = true;VecBoolType::size_type iBoolSize = vecOk.size(), i = 0;for (i = 0; i != iBoolSize; i++){if (!vecOk[i]){bAllOk = false;break;}}return bAllOk;}static void CheakOk(const VecDoubleType &vecS, const VecDoubleType &vecR, VecBoolType &vecOk){const VecDoubleType::size_type iSSize = vecS.size(), iRSize = vecR.size();VecDoubleType::size_type i = 0, j = 0;// 如果这个发送点的发送量已经为0了，那么这一行都Okfor (i = 0; i != iSSize; i++){if (vecS[i] < g_dTol){for (j = 0; j != iRSize; j++){vecOk[i * iRSize + j] = true;}}}// 如果这个接收点的待接收量减为0了，那么这一列都Ok，for (j = 0; j != iRSize; j++){if (vecR[j] < g_dTol){for (i = 0; i != iSSize; i++){vecOk[i * iRSize + j] = true;}}}}测试程序
VecDoubleType vecS, vecR, vecD, vecX;vecS.push_back(9.0);vecS.push_back(10.0);vecS.push_back(6.0);vecR.push_back(4.0);vecR.push_back(9.0);vecR.push_back(7.0);vecR.push_back(5.0);vecD.push_back(9.0);vecD.push_back(18.0);vecD.push_back(1.0);vecD.push_back(9.0);vecD.push_back(11.0);vecD.push_back(6.0);vecD.push_back(8.0);vecD.push_back(18.0);vecD.push_back(14.0);vecD.push_back(12.0);vecD.push_back(2.0);vecD.push_back(16.0);
Cal(vecS, vecR, vecD, vecX);
// 输入：// 9 18 1 9 9// 11 6 8 18 10// 14 12 2 16 6//// 4 9 7 5//// 输出为 0，0,7,2,1,9,0,0,3,0,0,3 不是最优，下面的结果 150是最优，// 3 0 1 5// 1 9 0 0// 0 0 6 0// //上面解出的结果不是最优解，只是一个可行解，如果要得到最优解需要继续进行计算，计算方法有位势法和活路法，算法很复杂没有写出来。
但是用另外一种差额法也可以得到基本可行解，而且效果比最小元素法要好。对于上面的列子能直接得到最优解。
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