1 Harris角点检测

人眼对角点的识别通常是通过一个局部的小窗口内完成的，如果在各个方向上移动这个小窗口，窗口内的灰度发生了较大的变化，那么说明窗口内存在角点。

如果在各个方向移动，灰度几乎不变，说明是平坦区域；
如果只沿着某一个方向移动，灰度几乎不变，说明是直线；
如果沿各个方向移动，灰度均发生变化，说明是角点。


	平坦区域	直线区域	角点

图像I(x,y)I(x,y)I(x,y),在点(x,y)(x,y)(x,y)处平移(u,v)(u,v)(u,v)后的自相似性,可以用灰度变化函数E(u,v)E(u,v)E(u,v)表示

泰勒展开：

得到：

其中:

二次项函数本质上就是一个椭圆函数，椭圆的扁平率和尺寸是由矩阵M的两个特征值决定的。

矩阵M的两个特征值与图像中的角点，边缘，平坦区域的关系：

Harris定义角点响应函数即R=λ1λ2−k(λ1+λ2)R=\lambda_1\lambda_2-k(\lambda_1+\lambda_2)R=λ1λ2−k(λ1+λ2),即R=Det(M)−k∗trace(M)∗trace(M)R=Det(M)-k*trace(M)*trace(M)R=Det(M)−k∗trace(M)∗trace(M)，kkk为经验常数0.04~0.06 。

定义当R>thresholdR>thresholdR>threshold时且为局部极大值的点时，定义为角点。

Harris角点检测算子对图像亮度和对比度具有部分不变性，且具有旋转不变性，但不具有尺度不变性。

2 opencv中调用cornerHarris函数检测角点：

blockSize：为邻域大小，对每个像素，考虑blockSize×blockSize大小的邻域S(p)S(p)S(p),在邻域上计算图像的差分的相关矩阵；

ksize: 为Soble算子核尺寸，如果小于0，采用3×3的Scharr滤波器；

k:为角点响应函数中的经验常数（0.04~0.06）；

int blockSize = 2;
int apertureSize =3;
double k = 0.04;
/// Detecting corners
cornerHarris( src_gray, dst, blockSize, apertureSize, k, BORDER_DEFAULT );

void cv::cornerHarris( InputArray _src, OutputArray _dst, int blockSize, int ksize, double k, int borderType )
{Mat src = _src.getMat();_dst.create( src.size(), CV_32F );Mat dst = _dst.getMat();cornerEigenValsVecs( src, dst, blockSize, ksize, HARRIS, k, borderType );//调用函数计算图像块的特征值和特征向量
}

static void
cornerEigenValsVecs( const Mat& src, Mat& eigenv, int block_size,int aperture_size, int op_type, double k=0.,int borderType=BORDER_DEFAULT )
{#ifdef HAVE_TEGRA_OPTIMIZATIONif (tegra::cornerEigenValsVecs(src, eigenv, block_size, aperture_size, op_type, k, borderType))return;
#endifint depth = src.depth();double scale = (double)(1 << ((aperture_size > 0 ? aperture_size : 3) - 1)) * block_size;if( aperture_size < 0 )scale *= 2.;if( depth == CV_8U )scale *= 255.;scale = 1./scale;CV_Assert( src.type() == CV_8UC1 || src.type() == CV_32FC1 );Mat Dx, Dy;   //保存每个像素点的水平方向和垂直方向的一阶差分if( aperture_size > 0 )//采用Sobel滤波器{Sobel( src, Dx, CV_32F, 1, 0, aperture_size, scale, 0, borderType );Sobel( src, Dy, CV_32F, 0, 1, aperture_size, scale, 0, borderType );}else    //采用3×3的Scharr滤波器，可以给出比3×3 Sobel滤波器更精确的结果{Scharr( src, Dx, CV_32F, 1, 0, scale, 0, borderType );Scharr( src, Dy, CV_32F, 0, 1, scale, 0, borderType );}Size size = src.size();Mat cov( size, CV_32FC3 );int i, j;for( i = 0; i < size.height; i++ ){float* cov_data = (float*)(cov.data + i*cov.step);const float* dxdata = (const float*)(Dx.data + i*Dx.step);const float* dydata = (const float*)(Dy.data + i*Dy.step);for( j = 0; j < size.width; j++ ){float dx = dxdata[j];float dy = dydata[j];cov_data[j*3] = dx*dx;  //第一个通道存dx*dx,即M矩阵左上角的元素cov_data[j*3+1] = dx*dy;//第二个通道存dx*dy,即M矩阵左下角和右上角的元素cov_data[j*3+2] = dy*dy;//第三个通道存dy*dy,即M矩阵右下角的元素}}boxFilter(cov, cov, cov.depth(), Size(block_size, block_size), //计算邻域上的差分相关矩阵（block_size×block_size）Point(-1,-1), false, borderType );if( op_type == MINEIGENVAL )   //计算M矩阵的最小的特征值calcMinEigenVal( cov, eigenv );else if( op_type == HARRIS )//计算Harris角点响应函数RcalcHarris( cov, eigenv, k );else if( op_type == EIGENVALSVECS )//计算图像块的特征值和特征向量calcEigenValsVecs( cov, eigenv );
}

static void
calcHarris( const Mat& _cov, Mat& _dst, double k )
{int i, j;Size size = _cov.size();if( _cov.isContinuous() && _dst.isContinuous() ){size.width *= size.height;size.height = 1;}for( i = 0; i < size.height; i++ ){const float* cov = (const float*)(_cov.data + _cov.step*i);float* dst = (float*)(_dst.data + _dst.step*i);j = 0;for( ; j < size.width; j++ ){float a = cov[j*3];float b = cov[j*3+1];float c = cov[j*3+2];dst[j] = (float)(a*c - b*b - k*(a + c)*(a + c));  //计算每个像素对应角点响应函数R}}
}

3 Shi-Tomasi角点检测

由于Harris算法的稳定性和k值有关，Shi-Tomasi发现，角点的稳定性和矩阵M的较小特征值有关，改进的Harris算法即直接计算出矩阵M的特征值，用较小的特征值与阈值比较，大于阈值的即为强特征点。

opencv中对其实现算法在goodFeaturesToTrack()函数中：

CV_EXPORTS_W void goodFeaturesToTrack( InputArray image, OutputArray corners,int maxCorners, double qualityLevel, double minDistance,InputArray mask=noArray(), int blockSize=3,bool useHarrisDetector=false, double k=0.04 );

image:输入图像
corners:输出图像数组
maxCorners:需要的角点数目
qualityLevel:最大，最小特征值的乘法因子。定义可接受图像角点的最小质量因子。
minDistance:容忍距离。角点之间的最小距离，采用欧氏距离。
mask:掩码
blockSize:邻域大小
useHarrisDetector:采用Harris角点检测
k：采用Harris角点检测时的经验常数k(0.04~0.06)

算法原理：调用cornerMinEigenVal()函数求出每个像素点自适应矩阵M的较小特征值,保存在矩阵eig中，然后找到矩阵eig中最大的像素值记为maxVal,然后阈值处理，小于qualityLevel*maxVal的特征值排除掉，最后函数确保所有发现的角点之间具有足够的距离。

void cv::goodFeaturesToTrack( InputArray _image, OutputArray _corners,int maxCorners, double qualityLevel, double minDistance,InputArray _mask, int blockSize,bool useHarrisDetector, double harrisK )
{Mat image = _image.getMat(), mask = _mask.getMat();CV_Assert( qualityLevel > 0 && minDistance >= 0 && maxCorners >= 0 );CV_Assert( mask.empty() || (mask.type() == CV_8UC1 && mask.size() == image.size()) );Mat eig, tmp;if( useHarrisDetector )     cornerHarris( image, eig, blockSize, 3, harrisK );  //采用Harris角点检测elsecornerMinEigenVal( image, eig, blockSize, 3 );  //采用Harris改进算法,eig保存矩阵M较小的特征值。见下面算法实现double maxVal = 0;minMaxLoc( eig, 0, &maxVal, 0, 0, mask );//保存eig中最大的值maxValthreshold( eig, eig, maxVal*qualityLevel, 0, THRESH_TOZERO );//阈值处理,小于maxVal*qualityLevel的像素值归为0。dilate( eig, tmp, Mat());//膨胀，3×3的核，为了取局部极大值Size imgsize = image.size();vector<const float*> tmpCorners;// collect list of pointers to features - put them into temporary imagefor( int y = 1; y < imgsize.height - 1; y++ ){const float* eig_data = (const float*)eig.ptr(y);const float* tmp_data = (const float*)tmp.ptr(y);const uchar* mask_data = mask.data ? mask.ptr(y) : 0;for( int x = 1; x < imgsize.width - 1; x++ ){float val = eig_data[x];if( val != 0 && val == tmp_data[x] && (!mask_data || mask_data[x]) )//局部极大值tmpCorners.push_back(eig_data + x);}}sort( tmpCorners, greaterThanPtr<float>() );  //按值从大到小排序vector<Point2f> corners;size_t i, j, total = tmpCorners.size(), ncorners = 0;/*  网格处理，即把图像划分成正方形网格,每个网格边长为容忍距离minDistance以一个角点位置为中心,minDistance为半径的区域内部不允许出现第二个角点*/if(minDistance >= 1){// Partition the image into larger gridsint w = image.cols;int h = image.rows;const int cell_size = cvRound(minDistance);//划分成网格，网格边长为容忍距离const int grid_width = (w + cell_size - 1) / cell_size;const int grid_height = (h + cell_size - 1) / cell_size;std::vector<std::vector<Point2f> > grid(grid_width*grid_height);minDistance *= minDistance;for( i = 0; i < total; i++ )  //按从大到小的顺序,遍历所有角点{int ofs = (int)((const uchar*)tmpCorners[i] - eig.data);int y = (int)(ofs / eig.step);int x = (int)((ofs - y*eig.step)/sizeof(float));bool good = true;int x_cell = x / cell_size;int y_cell = y / cell_size;int x1 = x_cell - 1;int y1 = y_cell - 1;int x2 = x_cell + 1;int y2 = y_cell + 1;// boundary checkx1 = std::max(0, x1);y1 = std::max(0, y1);x2 = std::min(grid_width-1, x2);y2 = std::min(grid_height-1, y2);for( int yy = y1; yy <= y2; yy++ )//检测角点,minDistance半径邻域内,有没有其他角点出现{for( int xx = x1; xx <= x2; xx++ ){vector <Point2f> &m = grid[yy*grid_width + xx];if( m.size() ){for(j = 0; j < m.size(); j++){float dx = x - m[j].x;float dy = y - m[j].y;if( dx*dx + dy*dy < minDistance )//有其他角点,丢弃当前角点{good = false;goto break_out;}}}}}break_out:if(good){// printf("%d: %d %d -> %d %d, %d, %d -- %d %d %d %d, %d %d, c=%d\n",//    i,x, y, x_cell, y_cell, (int)minDistance, cell_size,x1,y1,x2,y2, grid_width,grid_height,c);grid[y_cell*grid_width + x_cell].push_back(Point2f((float)x, (float)y));corners.push_back(Point2f((float)x, (float)y));//满足条件的存入corners++ncorners;if( maxCorners > 0 && (int)ncorners == maxCorners )break;}}}else   //不设置容忍距离{for( i = 0; i < total; i++ ){int ofs = (int)((const uchar*)tmpCorners[i] - eig.data);int y = (int)(ofs / eig.step);int x = (int)((ofs - y*eig.step)/sizeof(float));corners.push_back(Point2f((float)x, (float)y));++ncorners;if( maxCorners > 0 && (int)ncorners == maxCorners )break;}}Mat(corners).convertTo(_corners, _corners.fixedType() ? _corners.type() : CV_32F);}

求矩阵M最小的特征值

static void
calcMinEigenVal( const Mat& _cov, Mat& _dst )
{int i, j;Size size = _cov.size();if( _cov.isContinuous() && _dst.isContinuous() ){size.width *= size.height;size.height = 1;}for( i = 0; i < size.height; i++ )//遍历所有像素点{const float* cov = (const float*)(_cov.data + _cov.step*i);float* dst = (float*)(_dst.data + _dst.step*i);j = 0;for( ; j < size.width; j++ ){float a = cov[j*3]*0.5f;//cov[j*3]保存矩阵M左上角元素float b = cov[j*3+1];   //cov[j*3+1]保存左下角和右上角元素float c = cov[j*3+2]*0.5f;//cov[j*3+2]右下角元素dst[j] = (float)((a + c) - std::sqrt((a - c)*(a - c) + b*b));//求最小特征值，一元二次方程求根公式}}
}

参考资料：

仗剑走海角Harris角点及Shi-Tomasi角点检测
百度文库_Harris角点检测
crzy_sparrow_Opencv学习笔记（五）Harris角点检测

以上内容来自：

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1 Harris角点检测

2 opencv中调用cornerHarris函数检测角点：

3 Shi-Tomasi角点检测

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