【BZOJ1061】【codevs1803】志愿者招募，神奇建图费用流

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写在前面：第一次写成功的费用流是个神奇数学建模题……
思路：摘自http://www.ithao123.cn/content-4207689.html，感觉这个要比列不等式+松弛操作的说法更加明白简单

设每个时间i都需要有至少Ai个志愿者，设每种志愿者i使用了xi个，那么我们对于每个时间点都可以列出一个不等式：x1+x2+x3+…+xn>=Ai（其中如果第i类志愿者不能在该区间工作则xi固定为0）。

最后要求最小化w1*x1+w2*x2+x3*x3+…+wn*xn（其中wi是第i种志愿者的单位价格）。

这正是一个线性规划的问题。

那么我们是否可以转化为网络流来求解呢？

当然是可以哒~

现在我们将每个点的Ai取反，变成-Ai，这样他就成了一个“坑”了（相对于y=0而言），我们从源点S给最左边的时间点引流，流的大小为U（U为大整数），然后每个时间点i向时间点i+1建边（i，i+1，U-Ai，0），最后设汇点为最右端的时间点。

现在，如果所有时间点的Ai都为0，那么显然，汇点的流量恰好等于U。

问题来了，现在我们有的Ai不等于0了，那么显然源点到汇点的流量被这些“坑”所截断了，怎么解决这一个问题？

假设志愿者工作的时间为【Li，Ri】，且该种志愿者单位花费为Ci，则我们建边（Li，Ri+1，INF，Ci），表示我们雇佣了一些志愿者“填坑”来了，如果雇佣了xi个志愿者，则说明将该区间内的所有“坑”的深度填掉了xi（当然可能有的坑在“填坑”行动后高于y=0，那也无所谓了嘛，多多益善~）。

那么现在是不是看起来思路有一点清晰了？

于是志愿者的作用就是一个人可以填一个区间的“坑”（好厉害！），然后需要每种志愿者选择一些使得花费最小的情况下填掉所有的“坑”，就是这样~

最后就是让费用流帮我们选择志愿者的时候了~

于是我们按照上面的方法跑完一遍最小费用最大流，如果流量等于U，则说明满流（志愿者们成功填掉了所有的坑，同志们辛苦了~），此时的记录的cost就是最小值（cost为算法记录的最小费用）。如果流量不等于U则无解。

这时我们又收获了一种费用流的模型：初始给一道大流，然后将有至少覆盖次数限制的点（边）的权值取反变成“坑”，最后区间覆盖就等于“填坑”，只要最后的流量等于大流的流量，就有解。

注意：
1.建图不要想当然，一定要遵从流量守恒等原则，最好在纸上画画写写，并手动跑一遍
2.小心int溢出，这个好坑的
代码：

#include"bits/stdc++.h"
#define Maxn 0x7fffffff
#define LL long long
using namespace std;
int tot=1,s,t,n,m,up[20010];
bool flag[20010];
LL ans,dis[20010];
int person[1010],start[10010],end[10010],c[10010],first[20010];
struct os
{int fa,son,next;LL limit,cost;
}a[100000];
queue<int> q;
void add(LL x,LL y,LL z,LL co)
{a[++tot].fa=x;a[tot].son=y;a[tot].limit=z;a[tot].cost=co;a[tot].next=first[x];first[x]=tot;
}
bool spfa()
{memset(dis,127,sizeof(dis));memset(up,0,sizeof(up));dis[s]=0;flag[s]=1;q.push(s);LL k;while (!q.empty()){k=q.front();for (LL i=first[k];i;i=a[i].next)if (a[i].limit&&dis[a[i].son]>dis[k]+a[i].cost){dis[a[i].son]=dis[k]+a[i].cost;up[a[i].son]=i;if (!flag[a[i].son]) flag[a[i].son]=1,q.push(a[i].son);}q.pop();flag[k]=0;}if (dis[t]<0x7fffff) return 1;else return 0;
}
LL flow()
{LL ans=0,minn=0x7fffffff;for (int i=up[t];i;i=up[a[i].fa])minn=min(minn,a[i].limit);if (minn==Maxn) return 0;for (int i=up[t];i;i=up[a[i].fa])ans+=minn*a[i].cost,a[i].limit-=minn,a[i^1].limit+=minn;return ans;
}
main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&person[i]);for (int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&start[i],&end[i],&c[i]);s=n+2;t=n+1;add(s,1,Maxn,0);add(1,s,0,0);for (int i=1;i<=n;i++)add(i,i+1,Maxn-person[i],0),add(i+1,i,Maxn,0);for (int i=1;i<=m;i++)add(start[i],end[i]+1,Maxn,c[i]),add(end[i]+1,start[i],0,-c[i]);while (spfa()) ans+=flow();printf("%lld",ans);
}

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