信息学奥赛一本通（1261：【例9.5】城市交通路网）

1261：【例9.5】城市交通路网

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【题目描述】

下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A->E。试用动态规划的最优化原理求出A->E的最省费用。

如图：求v1到v10的最短路径长度及最短路径。

【输入】

第一行为城市的数量N;

后面是N*N的表示两个城市间费用组成的矩阵。

【输出】

A->E的最省费用。

【输入样例】

10
0  2  5  1  0  0  0  0  0  0
0  0  0  0 12 14  0  0  0  0
0  0  0  0  6 10  4  0  0  0
0  0  0  0 13 12 11  0  0  0
0  0  0  0  0  0  0  3  9  0
0  0  0  0  0  0  0  6  5  0
0  0  0  0  0  0  0  0 10  0
0  0  0  0  0  0  0  0  0  5
0  0  0  0  0  0  0  0  0  2
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

【输出样例】

minlong=19
1 3 5 8 10

【分析】

设a[i][j]存储距离矩阵，表示城市 i 到城市 j 的距离，f[i]记录从i~n的最短路径，pre[i]记录f[i]的前驱结点。逆推实现。

（1）划分阶段。

阶段：如图所示；样例中共有4个阶段。

（2）确定状态和状态变量。

状态：城市编号划分状态。状态信息用a[i][j]表示。

（2）确定决策并写出状态转移方程。

f[j]的值从哪来？当然是从后面f[i]来。决策：同阶段的城市中选哪一个？策略：最短路径。故，状态转移方程： f[i]=min{ a[i][j]+f[j] | a[i][j]>0, j<i<=n }。

（4）寻找边界条件。

逆推时，边界：f[n]=0。目标：f[1]。

（5）设计并实现程序。

【参考代码】

#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 110int a[N][N];       //邻接矩阵，表示城市i到城市j的距离
int f[N];           //f[i]记录从i~n的最短路径
int pre[N];         //记录f[i]前驱结点
int n;              //图中顶点的个数void floyd()
{int i,j,k;f[n]=0; for(i=n-1;i>=1;i--)            //从终点往前逆推，计算最短路径for(j=i+1;j<=n;j++)      //f[j]=inf,表示城市j到终点城市不通 {if(a[i][j]>0 && f[j]!=inf )       //i到j点通，j到终点通 {if(f[i]>a[i][j]+f[j]){f[i]=f[j]+a[i][j];        //城市i到终点n最短路径pre[i]=j;             //记录f[i]的前驱结点，即f[j]点 }}}
}int main()
{int i,j,k;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)        //输入各城市之间的距离 for(j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(i=1;i<=N;i++)        //初始化，默认每个城市到达终点的距离为无穷大 f[i]=inf;floyd();printf("minlong=%d\n",f[1]);  //输出1~n的最短路径值k=1;while(k!=0)                   //输出路过的各个城市{printf("%d ",k);k=pre[k];}printf("\n");return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1261