社会力模型SFM详解在人群异常检测上的应用

社会力模型（Social Force Model，SFM）

该理论模型由Dirk Helbing于1998年发表的“Social force model for pedestrian dynamics”中提出。本文将摘取Helbing这篇论文中的理论模型部分进行详细解读。

三个必要的力：

1. 期望向目标速度的加速度（作用在目标上的某个方向上的作用力）

假设行人 $\alpha$ 需要尽可能地到达目标位置 $\vec{r}^{0}_{a}$ ，行人在到达目标的路径一般可以抽象为沿多边形的边缘前进， $\vec{r}^{1}_{a}$ ，......， $\vec{r}^{n}_{a}$ := $\vec{r}^{0}_{a}$ 。这里假设行人处于 $\vec{r}^{k}_{a}$ ，那么可以根据以下公式计算出目标方向 $\vec{e}_{a}(t)$ ：

$\vec{e}_{a}(t) = \frac{\vec{r}^{k}_{a} - \vec{r}_{a}(t)}{\left \| \vec{r}^{k}_{a} - \vec{r}_{a}(t) \right \|}$

这里设行人 $\alpha$ 的期望速度为： $\vec{v}^{0}_{a}(t) := v_{a}^{0} \vec{e_{a}}(t)$

那么可以得出这个力的推导公式：

$\vec{F}^{0}_{a}(\vec{v}_{a}, v^{0}_{a}\vec{e}_{a}) := \frac{1}{T_{a}}(v^{0}_{a}\vec{e}_{a} - \vec{v}_{a})$

2. 实体之间保持一种斥力（实体与实体之间总保持一定的距离）

在这里，每个行人的私密范围，可以解释为地域效应。如果太靠近某个实体，则会导致其他行人的排斥效应β，可以用矢量表示：

$\vec{f}_{\alpha \beta }(\vec{r}_{\alpha \beta }) := -\Delta_{\vec{r}_{\alpha \beta }}V_{\alpha \beta }[b(\vec{r}_{\alpha \beta })]$

我们假设排斥势 $V_{\alpha \beta }(b)$ 是b的单调递减函数，等势线的形式是指向运动方向上的椭圆。原因是其他行人会考虑到需要空间进行下一步的动作。b表示椭圆的短半轴：

$2b := \sqrt{(\left \| \vec{r}_{\alpha \beta } \right \| + \left \|\vec{r}_{\alpha \beta } - v_{\beta }\Delta t\vec{e}_{\beta } \right \|)^{2} - (v_{\beta }\Delta t)^{2}}$

其中， $\vec{r}_{\alpha \beta } := \vec{r}_{\alpha } - \vec{r}_{\beta }$ ， $s_{\alpha \beta } := v_{\beta }\Delta t$ 是行人β一步的步长。

此外，行人还与建筑物、墙壁、街道、障碍物等的边界保持一定的距离。行人觉得越靠近他行走的边界就会越不适，因为行人自己会注意降低受伤的风险，例如小心不去碰壁。因此，边界B引起一种排斥效应，可以用下面这个力表示：

$\vec{F}_{\alpha B}(\vec{r}_{\alpha B}) := -\Delta_{\vec{r}_{\alpha B}}U_{\alpha B}(\left \| \vec{r}_{\alpha B} \right \|)$

3. 吸引力（可能是实体之间，也可能是实体与周围环境之间）

建模在位置 $\vec{r}_{i}$ 处的吸引力 $\vec{f}_{\alpha i}$ ：

$\vec{f}_{\alpha i}(\left \| \vec{r}_{\alpha i} \right \|, t) := -\Delta_{\vec{r}_{\alpha i}}W_{\alpha i}(\left \| \vec{r}_{\alpha i} \right \|, t)$

由于兴趣在下降，吸引力 $\left \| \vec{f}_{\alpha i} \right \|$ 通常会随着时间t而下降。然而，上述关于吸引和排斥效应的公式仅适用于在期望运动方向 $\vec{e}_{a}(t)$ 上感知到的情况。位于行人后面的情况对c(0<c<1)的影响较小。为了考虑这种感知效果（即有效视角2 $\varphi$ ），我们必须引入与方向相关的权重：

$w(\vec{e}, \vec{f}) := \left\{\begin{matrix} 1 & if \vec{e}\cdot \vec{f} \geq \left \| \vec{f} \right \|cos\varphi \\ c & otherwise. \end{matrix}\right.$

综上，对行人行为的排斥和吸引作用力为：

$\vec{F}_{\alpha \beta }(\vec{e}_{\alpha }, \vec{r}_{\alpha} - \vec{r}_{\beta }) := w(\vec{e}_{\alpha }, -\vec{f}_{\alpha \beta })\vec{f}_{\alpha \beta }(\vec{r}_{\alpha} - \vec{r}_{\beta })$

$\vec{F}_{\alpha i}(\vec{e}_{\alpha }, \vec{r}_{\alpha} - \vec{r}_{i}, t) := w(\vec{e}_{\alpha }, -\vec{f}_{\alpha i})\vec{f}_{\alpha i}(\vec{r}_{\alpha} - \vec{r}_{i}, t)$

现在可以得到行人的总动力 $\vec{F}_{\alpha }(t)$ ：

$\vec{F}_{\alpha }(t) := \vec{F}_{\alpha }^{0}(\vec{v}_{\alpha }, v_{\alpha }^{0}\vec{e}_{\alpha }) + \sum_{\beta }\vec{F}_{\alpha \beta }(\vec{e}_{\alpha }, \vec{r}_{\alpha } - \vec{r}_{\beta }) + \sum_{B}\vec{F}_{\alpha B}(\vec{e}_{\alpha }, \vec{r}_{\alpha } - \vec{r}_{B}^{\alpha }) + \sum_{i}\vec{F}_{\alpha i}(\vec{e}_{\alpha }, \vec{r}_{\alpha } - \vec{r}_{i}, t)$

到此，社会力模型已经推导出来了：

$\frac{d\vec{w}_{\alpha }}{dt} := \vec{F}_{\alpha }(t) + fluctuations$

其中fluctuations为随机波动变量。一方面，这些波动源于两个或多个行为替代方案相近的模糊情况（例如通过右侧或左侧障碍物的效用相同）。另一方面，波动源于行人偶然或故意偏离常规的运动规律。

再考虑行人存在一个最大速度 $v_{\alpha }^{max}$ ，因此估算现实的运动模型为：

$\frac{d\vec{r}_{\alpha }}{dt} = \vec{v}_{\alpha }(t) := \vec{w}_{\alpha }(t)g(\frac{v_{\alpha }^{max}}{\left \| \vec{w}_{\alpha } \right \|})$

其中，

$g(\frac{v_{\alpha }^{max}}{\left \| \vec{w}_{\alpha } \right \|}) := \left\{\begin{matrix} 1 & if \left \| \vec{w}_{\alpha } \right \| \leq v_{\alpha }^{max} \\ v_{\alpha }^{max} / \left \| \vec{w}_{\alpha } \right \| & otherwise. \end{matrix}\right.$

SFM在人群异常检测上的应用

以下内容摘自Ramin Mehran等人于2009年发表的论文“Abnormal Crowd Behavior Detection using Social Force Model”

这里简单讲一下论文提到的方法：首先用一个网格点覆盖在图像上，然后计算出基于时空维度的平均光流。然后根据光流跟踪运动的像素，计算出它们之间的交互作用力，这里用社会力模型来建模（这里还基于Helbing于2000年提出的引入恐慌系数的完善社会力模型）。接着随机的选取多个区域内的力流来对正常运动模式建模。最后采用a bag of words方法来分类正常和异常。

上图为利用SFM做人群异常检测的方法流程图。

上面为使用论文方法进行的检测结果，正常和异常都已被正确分类。

上图为在UMN数据集上异常检测的ROC面积，对比纯光流法，社会力模型表现更好。

在网络数据集上的ROC计算结果显示社会力模型相比光流法依然更有优势。

这个方法提出在2009年，效果在当时来说非常不错。社会力模型应用在人群异常检测领域后面依然不少研究人员在继续做深入研究，包括2012年Y Zhang等人提出的基于属性感知（attribute-aware）的社会力模型做人群异常检测，作者同时引入了社会无序属性和拥挤属性，利用统计上下文特征描述现实社会行为。通过语义属性感知增强，得到了一个基于社会力量的改进模型。该方法同比其他方法有一定的优势。

参考资料

1. Helbing D , Molnar P . Social Force Model for Pedestrian Dynamics[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1998, 51(5):4282.

2. Helbing D , Farkas I J , Vicsek T . Simulating Dynamical Features of Escape Panic[J]. Social ence Electronic Publishing, 2000, 407(6803):487-90.

3. Mehran R , Oyama A , Shah M . Abnormal crowd behavior detection using social force model[C]// 2009 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR 2009), 20-25 June 2009, Miami, Florida, USA. IEEE, 2009.

4. Zhang Y , Qin L , Yao H , et al. Abnormal crowd behavior detection based on social attribute-aware force model[C]// IEEE International Conference on Image Processing. IEEE, 2012.