Python 算法:线性回归及相关公式推导
0 前言
本文以一个小小的案例展开,主要讲解了线性回归的步骤、常用的两种求最优解的方法(最小二乘法和sklearn回归算法及算法原理)及相关函数、公式的过程推导。
相关环境:
Windows 64位
Python3.9
scikit-learn==1.0.2
pandas==1.4.2
numpy==1.21.5
matplotlib==3.5.1
1 案例数据及数据关系
假设有一组数如下,问(10,27)是否合理?
x | y |
---|---|
1 | 5 |
2 | 6 |
3 | 9 |
4 | 11 |
5 | 13 |
要回答这个问题,可以分三步走:
1、确认x和y的关系;
2、拟合模型,并根据模型进行预测;
3、判断(10,27)是否合理。
要确定关系,可以将数据通过散点图绘制出来
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
df = pd.DataFrame({'x':list(range(1,6)),'y':[5,6,9,11,13]})
plt.scatter(df.x,df.y)
plt.show()
由散点图可见,这是一个线性回归模型,故令线性模型函数为f(xi)=axi+bf \left( {x}_i \right)=ax_i+bf(xi)=axi+b,使得f(xi)≈yif \left( x_i \right) \approx y_if(xi)≈yi。
这时,一开始的问题就转化成了求系数a和截距b。
2 拟合模型,求最优解
什么时候a和b达到最优解,也就是拟合效果最好呢?
如果根据过往数学经验,就是画一条直线,尽可能多的过一些散点或靠近散点更多的地方,但是这条线是不是最优的,还不确定,需要通过计算每一条线的拟合结果来确定。判断拟合结果好坏,有一个常用的判断方法:最小二乘法(LS) 得到的值尽可能小。
最小二乘法用通俗的话讲,就是将每个点的实际值yiy_iyi和直线的预测值f(xi)f \left( x_i \right)f(xi)相减,然后平方,然后求和。
特殊情况下,当该结果值为0时,说明实际的点和直线的点完全重合,其实就是直线上取出来的点。
最小二乘法的公式如下:
LS=∑i=1m(f(xi)−yi)2,其中f(xi)=axi+b(2.1)LS=\sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 },其中f \left( {x}_i \right)=ax_i+b \text{(2.1)}LS=∑i=1m(f(xi)−yi)2,其中f(xi)=axi+b(2.1)
均分误差(MSE,也称平方损失)的公式如下:
MSE=1m∑i=1m(f(xi)−yi)2,其中f(xi)=axi+b(2.2)MSE=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 },其中f \left( {x}_i \right)=ax_i+b \text{(2.2)}MSE=m1∑i=1m(f(xi)−yi)2,其中f(xi)=axi+b(2.2)
注:m 表示点的总数,i 表示每个点。
二者差别在于最小二乘法没有除以m,均方差除以m。在某些场景会有变形,比如加权最小二乘法和加权均方差,权重是对应值出现的概率。
在周志华的机器学习一书讲到的一个概念是“最小二乘法是基于均方误差最小化来进行模型求解的方法”,即:
minimizeMSE⇒模型LS\boxed{ minimize MSE \xRightarrow{模型} LS}minimizeMSE模型LS
介绍完LS和MSE,再回到一开始的问题,什么时候a和b达到最优解,可以通过求导方式求解,即在均方差函数上分别对相关未知变量求导,再令导函数f′=0f' =0f′=0进行求解;也可以通过算法进行定向的搜索求解,即先分别给a和b先赋一个初始值,然后通过梯度下降算法,不断更新a和b的值,最终收敛到极值,得到最优解。
2.1 均方差求导求解
如何在均方差E(a,b)=1m∑i=1m(f(xi)−yi)2E\left( a,b \right)=\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 }E(a,b)=m1∑i=1m(f(xi)−yi)2上,分别对a和b求导呢?
先把f(xi)=axi+bf \left( {x}_i \right)=ax_i+bf(xi)=axi+b代入上式,得到
E(a,b)=1m∑i=1m(axi+b−yi)2(2.3)=1m∑i=1m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)(2.4)=1m∑i=1m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(2.5)\begin{aligned} E\left( a,b \right) &= \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b - y_i \right) ^2 } &{(2.3)} \\ &= \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i^2a^2 + 2 \left(b-y_i \right)x_ia + \left(b-y_i \right)^2 \right)} &{(2.4)} \\ &= \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( b^2 + 2 \left(ax_i-y_i \right)b + \left(ax_i-y_i \right)^2 \right)} &{(2.5)} \end{aligned}E(a,b)=m1i=1∑m(axi+b−yi)2=m1i=1∑m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)=m1i=1∑m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(2.3)(2.4)(2.5)
当对a求导时,可以改为(2.4)式的结构以便查看;当对b求导时,可以改为(2.5)式的结构以便查看。求导结果为:
∂∂aE(a,b)=2m∑i=1m(axi+b−yi)xi(2.6)∂∂bE(a,b)=2m∑i=1m(axi+b−yi)(2.7)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial a} E_{(a,b)} &=\dfrac{2}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b-y_i \right)x_i } &{(2.6)} \\ \dfrac{\partial}{\partial b} E_{(a,b)} &=\dfrac{2}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i \right)} &{(2.7)} \end{aligned}∂a∂E(a,b)∂b∂E(a,b)=m2i=1∑m(axi+b−yi)xi=m2i=1∑m(axi+b−yi)(2.6)(2.7)
令(2.6)式和(2.7)式都为0,并结合新得到的两个等式,可得到解:
a=∑i=im(y1−y‾)xi∑i=im(x1−x‾)xi或∑i=1m(xi−x‾)yi∑i=im(x1−x‾)xi或∑i=im(y1−y‾)(xi−x‾)∑i=im(x1−x‾)2或=∑i=imxiy1−mx‾y‾∑i=imxi2−mx‾2(2.9)a=\dfrac{ \displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( y_1 - \overline{y} \right) x_i}}{\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_1 - \overline{x} \right) x_i}} 或 \dfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i} }{\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_1 - \overline{x} \right) x_i}} 或 \dfrac{ \displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( y_1 - \overline{y} \right) \left( x_i -\overline{x} \right)}}{\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_1 - \overline{x} \right)^2}} 或=\dfrac{ \displaystyle \sum_{i=i}^m{ x_iy_1 } -m\overline{x}\overline{y} }{ \displaystyle \sum_{i=i}^m{ x_i^2 } -m\overline{x}^2 } \text{(2.9)}a=i=i∑m(x1−x)xii=i∑m(y1−y)xi或i=i∑m(x1−x)xii=1∑m(xi−x)yi或i=i∑m(x1−x)2i=i∑m(y1−y)(xi−x)或=i=i∑mxi2−mx2i=i∑mxiy1−mxy(2.9)
b=1m∑i=1m(yi−axi)=y‾−ax‾(2.10)b=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( y_i-ax_i \right)}=\overline{y}-a\overline{x} \text{(2.10)}b=m1i=1∑m(yi−axi)=y−ax(2.10)
注:a的4个分子得到一样的值,3个分母也是,可以有多种组合。以上公式具体推导过程可以看公式推导小节。
该组数据得到的解为a=2.1;b=2.5。
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
df = pd.DataFrame({'x':list(range(1,6)),'y':[5,6,9,11,13]})
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(df.x,df.y)
plt.plot(df.x,df.x*2.1+2.5)
plt.show()print(2.1*10+2.5) # 结果为23.5
拟合结果如下:
插播:导数的作用
导数的作用:导数描述了一个函数在某一点上的变化率,这个变化率的大小需要根据导数结果定义。
比如直线函数(如y=xy=xy=x,其求导函数为y′=1y'=1y′=1)的导数是一个自然数(数字1数字1数字1),那么整一条直线上的任意一个点的导数都是该值,变化率不变。
如果是曲线函数(如y=x2y=x^2y=x2,其求导函数为y′=2xy'=2xy′=2x),其导数会根据点在不同的位置上得到一个变化率(y′y'y′),也表示为该点上的切线斜率,切线斜率越小,表示越接近全局或局部的最值(最大或最小值),当切线斜率为0时,达到最值(可能是全局也可能是局部,结合函数判断,最高幂次方为2次则只有一个最值),如下图1。
导数的作用就是帮助我们通过切线斜率等于0时找到最值,一般该值就是原函数的最优解。当然了,如果一个函数有多个切线斜率等于0,可能会取到局部的最优解,而不是全局最优解。(如下图2)
2.2 算法拟合求解
接下来看看算法实现的方式,算法实现的过程是通过定向的搜索。
先来看一个图,如下图,这也是一种搜索的过程,直接在原散点上找拟合效果比较好的线。不过该方法难以判断什么时候能够达到最优解。
这时候需要更加科学的方式来解决以上问题,前辈们已经为我们创造了好多算法用于搜索最优解。这些算法中有一个表经典的就是梯度下降法。该算法和前面的导函数有些相同之处,在寻找极值的时候,通过对函数对应的梯度不断进行迭代和搜索,最终在极值点收敛。如下图:
这是二维的展示,如果是三维的,可以参考吴恩达机器学习课程的一张经典的图:
注:J(θ0,θ1)J \left( \theta_0,\theta_1 \right)J(θ0,θ1)是代价函数,同本文的J(a,b)J \left( a,b \right)J(a,b),θ0\theta_0θ0和θ1\theta_1θ1则类比a和b,是代价函数(下面讲)的最优解。
梯度下降的算法逻辑很简单,不过用公式和求解表示会有一点复杂。
讲该算法之前,先引入另外一个概念:损失函数(也叫代价函数)。随着算法不断的发展,损失函数也不断发展。本文建一个比较经典的,就是基于均方差演变而来的,即在均方差的计算结果除以2,看了好些资料,介绍这个2,主要是用于约掉均方差求导后的系数2,以便于计算,姑且这么理解吧。
本次引入的损失函数如下:
J(a,b)=12m∑i=1m(f(xi)−yi)2(2.11)J\left( a,b \right)=\dfrac{1}{2m}\sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 } \text{(2.11)}J(a,b)=2m1∑i=1m(f(xi)−yi)2(2.11)
注:损失函数和代价函数的差别在于损失函数定义在单个样本,是一个样本的误差,代价函数定义在整个训练集,是所有样本的平均误差。
梯度下降算法的公式如下:
ai+1=ai−α∂∂aiJ(a,b)(2.12)bi+1=bi−α∂∂biJ(a,b)(2.13)\begin{aligned} a_{i+1} &= a_i - \alpha \dfrac{\partial}{\partial a_i} J_{(a,b)} &{(2.12)} \\ b_{i+1} &= b_i - \alpha \dfrac{\partial}{\partial b_i} J_{(a,b)} &{(2.13)} \end{aligned}ai+1bi+1=ai−α∂ai∂J(a,b)=bi−α∂bi∂J(a,b)(2.12)(2.13)
这两个公式是迭代公式,就是下一次的a和b值由本次得到的a和b值减去后面一长串公式得到的结果。
α\alphaα是学习速率,或者叫步长,就是你给算法定义的值,每次期望移动多大值;∂∂aJ(a,b)\dfrac{\partial}{\partial a} J_{(a,b)}∂a∂J(a,b)和∂∂bJ(a,b)\dfrac{\partial}{\partial b} J_{(a,b)}∂b∂J(a,b)是求导公式,即在损失函数上,对a和b分别求导。
补充说明:可能有的小伙伴对于对a和b分别求导有点无厘头,特别是多个位置参数放在一起的时候,更容易混淆。无论如何复杂,认准一点,对谁求导,谁就是自变量,其他的全部视为常数,然后根据求导的规则获取导函数。比如:f(x)=ax2+bx+cf \left( x \right)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c对a求导就是f′(a)=x2f' \left( a \right)=x^2f′(a)=x2,对b求导就是f′(b)=xf' \left( b \right)=xf′(b)=x,对c求导就是f′(c)=1f' \left( c \right)=1f′(c)=1。
如何在代价函数J(a,b)=12m∑i=1m(f(xi)−yi)2J\left( a,b \right)=\dfrac{1}{2m} \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 }J(a,b)=2m1∑i=1m(f(xi)−yi)2上,分别对a和b求导呢?这个和上文讲均方差求导时有介绍过类似内容,只不过前面是均方差,此处是代价函数,多除以2,其他基本一致。
先把f(xi)=axi+bf \left( {x}_i \right)=ax_i+bf(xi)=axi+b代入上式,得到
J(a,b)=12m∑i=1m(axi+b−yi)2(2.14)=12m∑i=1m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)(2.15)=12m∑i=1m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(2.16)\begin{aligned} J\left( a,b \right) &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b - y_i \right) ^2 } &{(2.14)} \\ &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i^2a^2 + 2 \left(b-y_i \right)x_ia + \left(b-y_i \right)^2 \right)} &{(2.15)} \\ &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( b^2 + 2 \left(ax_i-y_i \right)b + \left(ax_i-y_i \right)^2 \right)} &{(2.16)} \end{aligned}J(a,b)=2m1i=1∑m(axi+b−yi)2=2m1i=1∑m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)=2m1i=1∑m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(2.14)(2.15)(2.16)
当对a求导时,可以改为(2.15)式的结构以便查看;当对b求导时,可以改为(2.16)式的结构以便查看。求导结果为:
∂∂aJ(a,b)=1m∑i=1m(axi+b−yi)xi(2.17)∂∂bJ(a,b)=1m∑i=1m(axi+b−yi)(2.18)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial a} J_{(a,b)} &=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b-y_i \right)x_i } &{(2.17)} \\ \dfrac{\partial}{\partial b} J_{(a,b)} &=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i \right)} &{(2.18)} \end{aligned}∂a∂J(a,b)∂b∂J(a,b)=m1i=1∑m(axi+b−yi)xi=m1i=1∑m(axi+b−yi)(2.17)(2.18)
注:具体推导过程可以看公式推导小节。
将(2.17)代入(2.12),将(2.18)代入(2.13),便可以得到:
ai+1=ai−α1m∑i=1m(aixi+bi−yi)xi(2.19)bi+1=bi−α1m∑i=1m(aixi+bi−yi)(2.20)\begin{aligned} a_{i+1} &= a_i - \alpha \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( a_ix_i+b_i-y_i \right)x_i } &{(2.19)} \\ b_{i+1} &= b_i - \alpha \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( a_ix_i+b_i-y_i \right) } &{(2.20)} \end{aligned}ai+1bi+1=ai−αm1i=1∑m(aixi+bi−yi)xi=bi−αm1i=1∑m(aixi+bi−yi)(2.19)(2.20)
注:右边的a和b的结构都是本次的a和b,左边的a和b是下一次值,二者同步更新。用Python实现过程,或需要新建一个中间变量,以避免在计算完(2.19)式之后,变量a 变成了下一次的值,等到计算(2.20)式时,使用下一次的a 值更新下一次的b 值。
如果通过Python实现们可以直接调用scikit-learn(sklearn)的线性回归模型库实现,具体代码实现步骤如下:
# 读取数据
import pandas as pd
data = pd.DataFrame({'x':[1,2,3,4,5],'y':[5,6,9,11,13]})
# data.shape,type(data)
x = data.loc[:,'x']
y = data.loc[:,'y']# 画图查看数据分布
from matplotlib import pyplot as plt
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(x,y)
plt.show()# 调用sklearn的线性模型
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr_model = LinearRegression()# 转换维度,一维转为二维
X = x.values.reshape(-1, 1) # 训练模型
lr_model.fit(X,y)
# 预测x结果
y_predict = lr_model.predict(X)# 画图查看y和y_predict
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y_predict)
plt.show()# 打印a、b值
a = lr_model.coef_
b = lr_model.intercept_
print(a,b) # 结果为:[2.1] 2.499999999999999# 查看均方差
from sklearn.metrics import mean_squared_error,r2_score
MSE = mean_squared_error(y,y_predict)
R2 = r2_score(y,y_predict)
print(MSE,R2) # 结果为:0.13999999999999996 0.984375# 预测具体某个值的结果
y_p = lr_model.predict([[10]])
print(y_p) # 结果为:[23.5]
拟合的曲线为:f(xi)=2.1xi+2.5f \left( {x}_i \right)=2.1x_i+2.5f(xi)=2.1xi+2.5
拟合结果可视化如下:
3 判断结果
通过以上两种求解方法得到的结果均为23.5。(10,27)点在拟合直线的上方,27比23.5大3.5。
是否合理呢?可以通过R2R^2R2来衡量,在算法计算中有计算过该值,为0.984375,也就是说,在该模型的拟合效果上,有98.4%的可信度相信当x=10时,得到23.5。所以27是不合理的。但是,需要注意的是,该可信度是基于已知的5个点训练得到的结果,由于数量较少,对x>5之外的值可能不适用,当然,如果是相同的场景下,或有一定的适用性,权当教学使用。
虽然27不合理,但是在涉及到决策时,需要再结合实际的情况做出是否接受的判断,比如说如果是某地的房价预测是23.5万/平,实际出价是27万/平,对于卖方有利,对于卖方无利。站在卖方角度,一般可接受,站在买方角度,一般不可接受。
4 公式推导
4.1 如何证明∑i=1m(xi−x‾)xi=∑i=1m(xi−x‾)2=∑i=imxi2−mx‾2\textstyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)x_i} =\textstyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)^2} =\textstyle \sum_{i=i}^m{ x_i^2 } -m\overline{x}^2∑i=1m(xi−x)xi=∑i=1m(xi−x)2=∑i=imxi2−mx2成立?
∑i=1mxi=x1+x2+x3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+xm=mx‾=∑i=1mx‾(4.1)\displaystyle\sum_{i=1}^m{ {x}_i} = x_1+x_2+x_3+··· ···+x_m=m \overline{x} =\displaystyle\sum_{i=1}^m{\overline{x}} \text{(4.1)}i=1∑mxi=x1+x2+x3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+xm=mx=i=1∑mx(4.1)
(4.1)式,x的m个样本值加起来等于m倍均值,可表示为∑i=1mx‾\textstyle \sum_{i=1}^m{\overline{x}}∑i=1mx,即m个x‾\overline{x}x相加。
∑i=1m(x‾xi)=x‾∑i=1mxi(4.2)\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( \overline{x} x_i \right)}=\overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^m{x_i} \text{(4.2)}i=1∑m(xxi)=xi=1∑mxi(4.2)
(4.2)式,x‾\overline{x}x是一个常量,(4.2)式相当于是x‾x1+x‾x2+⋅⋅⋅+x‾xm=x‾(x1+x2+⋅⋅⋅+xm)\overline{x} x_1+\overline{x} x_2+···+\overline{x} x_m=\overline{x} (x_1+x_2+···+x_m)xx1+xx2+⋅⋅⋅+xxm=x(x1+x2+⋅⋅⋅+xm)
证明∑i=1m(xi−x‾)xi=∑i=1m(xi−x‾)2\textstyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)x_i} =\textstyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)^2}∑i=1m(xi−x)xi=∑i=1m(xi−x)2
∑i=1m(xi−x‾)xi=∑i=1m(xi2−x‾xi)(4.3)=∑i=1m(xi2−x‾xi+x‾xi−x‾xi)(4.4)=∑i=1m(xi2−2x‾xi+x‾xi)(4.5)=∑i=1m(xi2−2x‾xi)+∑i=1m(x‾xi)(4.6)=∑i=1m(xi2−2x‾xi)+x‾∑i=1m(xi)(4.7)=∑i=1m(xi2−2x‾xi)+x‾⋅mx‾(4.8)=∑i=1m(xi2−2x‾xi)+mx‾2(4.9)=∑i=1m(xi2−2x‾xi)+∑i=1mx‾2(4.10)=∑i=1m(xi2−2x‾xi+x‾2)(4.11)=∑i=1m(xi−x‾)2(4.12)\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)x_i} &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-\overline{x} x_i \right)} &{(4.3)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-\overline{x} x_i + \overline{x} x_i - \overline{x} x_i \right)} &{(4.4)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i + \overline{x} x_i \right)} &{(4.5)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i \right)} + \displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( \overline{x} x_i \right)} &{(4.6)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i \right)} + \overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( x_i \right)} &{(4.7)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i \right)} + \overline{x}·m\overline{x} &{(4.8)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i \right)} + m\overline{x}^2 &{(4.9)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i \right)} + \displaystyle\sum_{i=1}^m{ \overline{x}^2 } &{(4.10)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i^2-2 \overline{x} x_i + \overline{x}^2 \right) } &{(4.11)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i- \overline{x} \right)^2 } &{(4.12)} \end{aligned}i=1∑m(xi−x)xi=i=1∑m(xi2−xxi)=i=1∑m(xi2−xxi+xxi−xxi)=i=1∑m(xi2−2xxi+xxi)=i=1∑m(xi2−2xxi)+i=1∑m(xxi)=i=1∑m(xi2−2xxi)+xi=1∑m(xi)=i=1∑m(xi2−2xxi)+x⋅mx=i=1∑m(xi2−2xxi)+mx2=i=1∑m(xi2−2xxi)+i=1∑mx2=i=1∑m(xi2−2xxi+x2)=i=1∑m(xi−x)2(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)(4.12)
证明∑i=1m(xi−x‾)xi=∑i=imxi2−mx‾2\textstyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)x_i} =\textstyle \sum_{i=i}^m{ x_i^2 } -m\overline{x}^2∑i=1m(xi−x)xi=∑i=imxi2−mx2:
∑i=1m(xi−x‾)xi=∑i=1mxi2−∑i=1mx‾xi(4.13)=∑i=1mxi2−x‾∑i=1mxi(4.14)=∑i=1mxi2−x‾⋅mx‾(4.15)=∑i=1mxi2−mx‾2(4.16)\begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( {x}_i-\overline{x} \right)x_i} &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ {x}_i^2 }-\displaystyle\sum_{i=1}^m{\overline{x} x_i } &{(4.13)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ {x}_i^2 }-\overline{x}\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_i } &{(4.14)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ {x}_i^2 }-\overline{x}·m\overline{x} &{(4.15)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ {x}_i^2 }-m\overline{x}^2 &{(4.16)} \end{aligned}i=1∑m(xi−x)xi=i=1∑mxi2−i=1∑mxxi=i=1∑mxi2−xi=1∑mxi=i=1∑mxi2−x⋅mx=i=1∑mxi2−mx2(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)
结合(4.1)式代入(4.14)可得到(4.15)式。
4.2 如何证明∑i=1m(xi−x‾)yi=∑i=1m(yi−y‾)xi=∑i=im(yi−y‾)(xi−x‾)=∑i=imxiyi−mx‾y‾\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i}=\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( y_i-\overline{y} \right)x_i} =\textstyle \sum_{i=i}^m{\left( y_i - \overline{y} \right) \left( x_i -\overline{x} \right)} = \textstyle \sum_{i=i}^m{ x_iy_i } -m\overline{x}\overline{y}∑i=1m(xi−x)yi=∑i=1m(yi−y)xi=∑i=im(yi−y)(xi−x)=∑i=imxiyi−mxy成立?
x‾=1m∑i=1mxi(4.17)y‾=1m∑i=1myi(4.18)\begin{aligned} \overline{x}= \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{x_i} &{(4.17)} \\ \overline{y}= \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{y_i} &{(4.18)} \end{aligned}x=m1i=1∑mxiy=m1i=1∑myi(4.17)(4.18)
证明∑i=1m(xi−x‾)yi=∑i=1m(yi−y‾)xi\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i}=\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( y_i-\overline{y} \right)x_i}∑i=1m(xi−x)yi=∑i=1m(yi−y)xi:
∑i=1m(xi−x‾)yi=∑i=1m(xiyi−x‾yi)(4.19)=∑i=1mxiyi−∑i=1mx‾yi(4.20)=∑i=1mxiyi−x‾⋅∑i=1myi(4.21)=∑i=1mxiyi−(1m∑i=1mxi)⋅(my‾)(4.22)=∑i=1mxiyi−y‾∑i=1mxi(4.23)=∑i=1mxiyi−∑i=1my‾xi(4.24)=∑i=1m(xiyi−y‾xi)(4.25)=∑i=1m(yi−y‾)xi(4.26)\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i} &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( x_iy_i-\overline{x}y_i \right)} &{(4.19)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_iy_i}-\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \overline{x}y_i } &{(4.20)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_iy_i}-\overline{x}·\displaystyle\sum_{i=1}^m{ y_i } &{(4.21)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_iy_i}-\left( \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{x_i} \right) · \left( m \overline{y} \right) &{(4.22)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_iy_i}-\overline{y}\displaystyle \sum_{i=1}^m{x_i} &{(4.23)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ x_iy_i}-\displaystyle \sum_{i=1}^m{\overline{y}x_i} &{(4.24)} \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^m{ \left( x_iy_i- \overline{y}x_i \right)} &{(4.25)} \\ &=\displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( y_i-\overline{y} \right)x_i} &{(4.26)} \end{aligned}i=1∑m(xi−x)yi=i=1∑m(xiyi−xyi)=i=1∑mxiyi−i=1∑mxyi=i=1∑mxiyi−x⋅i=1∑myi=i=1∑mxiyi−(m1i=1∑mxi)⋅(my)=i=1∑mxiyi−yi=1∑mxi=i=1∑mxiyi−i=1∑myxi=i=1∑m(xiyi−yxi)=i=1∑m(yi−y)xi(4.19)(4.20)(4.21)(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)(4.26)
将(4.17)和(4.18)代入(4.21)可得到(4.22)。
注意:∑i=1mxiyi/=xi∑i=1myi\textstyle \sum_{i=1}^m{x_iy_i} \mathrlap{\,/}{=} x_i\textstyle \sum_{i=1}^m{y_i}∑i=1mxiyi/=xi∑i=1myi因为xix_ixi不是常量,∑i=1mxiyi\textstyle \sum_{i=1}^m{x_iy_i}∑i=1mxiyi表示的是两个变量xix_ixi和yiy_iyi乘积的和,计算顺序为先乘后加。而xi∑i=1myix_i\textstyle \sum_{i=1}^m{y_i}xi∑i=1myi是对变量yiy_iyi求和之后乘以变量xix_ixi。如果xix_ixi为常量等式才成立。
证明∑i=1m(xi−x‾)yi=∑i=im(yi−y‾)(xi−x‾)\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i} =\textstyle \sum_{i=i}^m{\left( y_i - \overline{y} \right) \left( x_i -\overline{x} \right)}∑i=1m(xi−x)yi=∑i=im(yi−y)(xi−x):
∑i=im(y1−y‾)(xi−x‾)=∑i=im(xiyi−x‾yi−xiy‾+xy‾)(4.27)=∑i=im(xi−x‾)yi−∑i=im(xiy‾)+∑i=im(xy‾)(4.28)=∑i=im(xi−x‾)yi−y‾∑i=im(xi)+y‾∑i=im(x‾)(4.29)=∑i=im(xi−x‾)yi−mxy‾+−mxy‾(4.30)=∑i=im(xi−x‾)yi(4.31)\begin{aligned} \displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( y_1 - \overline{y} \right) \left( x_i -\overline{x} \right)} &=\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_iy_i -\overline{x}y_i - x_i\overline{y} +\overline{xy} \right)} &{(4.27)} \\&=\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i -\overline{x} \right)y_i} -\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i\overline{y} \right) }+\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left(\overline{xy} \right)} &{(4.28)} \\&=\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i -\overline{x} \right)y_i} -\overline{y}\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i \right) }+\overline{y}\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left(\overline{x} \right)} &{(4.29)} \\&=\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i -\overline{x} \right)y_i} -m\overline{xy}+-m\overline{xy} &{(4.30)} \\&=\displaystyle \sum_{i=i}^m{\left( x_i -\overline{x} \right)y_i} &{(4.31)} \end{aligned}i=i∑m(y1−y)(xi−x)=i=i∑m(xiyi−xyi−xiy+xy)=i=i∑m(xi−x)yi−i=i∑m(xiy)+i=i∑m(xy)=i=i∑m(xi−x)yi−yi=i∑m(xi)+yi=i∑m(x)=i=i∑m(xi−x)yi−mxy+−mxy=i=i∑m(xi−x)yi(4.27)(4.28)(4.29)(4.30)(4.31)
将(4.1)式和(4.17)式代入(4.29),可得到(4.30)。
证明∑i=1m(xi−x‾)yi=∑i=imxiyi−mx‾y‾\textstyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i-\overline{x} \right)y_i} = \textstyle \sum_{i=i}^m{ x_iy_i } -m\overline{x}\overline{y}∑i=1m(xi−x)yi=∑i=imxiyi−mxy:结合(4.18)式和(4.21)式,即可推导出该结果。
4.3 为什么J(a,b)=12m∑i=1m(axi+b−yi)2J_{(a,b)} =\dfrac{1}{2m} \textstyle\sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i \right)^2}J(a,b)=2m1∑i=1m(axi+b−yi)2对a 求导之后是1m∑i=1m(axi+b−yi)xi\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i\right) x_i}m1∑i=1m(axi+b−yi)xi,而对b 求导之后是1m∑i=1m(axi+b−yi)\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i\right)}m1∑i=1m(axi+b−yi)?
在E(a,b)E(a,b)E(a,b)函数上对a和b求导的解法和该解法相类似,不赘述。
J(a,b)=12m∑i=1m(axi+b−yi)2(4.32)=12m∑i=1m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)(4.33)=12m∑i=1m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(4.34)\begin{aligned} J\left( a,b \right) &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b - y_i \right) ^2 } &{(4.32)} \\ &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( x_i^2a^2 + 2 \left(b-y_i \right)x_ia + \left(b-y_i \right)^2 \right)} &{(4.33)} \\ &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( b^2 + 2 \left(ax_i-y_i \right)b + \left(ax_i-y_i \right)^2 \right)} &{(4.34)} \end{aligned}J(a,b)=2m1i=1∑m(axi+b−yi)2=2m1i=1∑m(xi2a2+2(b−yi)xia+(b−yi)2)=2m1i=1∑m(b2+2(axi−yi)b+(axi−yi)2)(4.32)(4.33)(4.34)
使用(4.33)式,对a求导;使用(4.34)式对b求导。
∂J(a,b)∂a=12m∑i=1m(2xi2a+2(b−yi)xi+0)(4.35)=12m∑i=1m2xi(xia+(b−yi))(4.36)=1m∑i=1mxi(xia+b−yi)(4.37)=1m∑i=1m(axi+b−yi)xi(4.38)∂J(a,b)∂b=12m∑i=1m(2b+2(axi−yi)+0)(4.39)=12m∑i=1m2xi(xia+(b−yi))(4.40)=1m∑i=1mxi(xia+b−yi)(4.41)=1m∑i=1m(axi+b−yi)xi(4.42)\begin{aligned} \dfrac{\partial J_{(a,b)}}{\partial a} &=\dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( 2x_i^2a + 2 \left(b-y_i \right)x_i + 0 \right)} &{(4.35)} \\&=\dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ 2x_i \left( x_ia + \left(b-y_i \right) \right) } &{(4.36)} \\&=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ x_i \left( x_ia + b-y_i \right) } &{(4.37)} \\&=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i\right) x_i} &{(4.38)} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \dfrac{\partial J_{(a,b)}}{\partial b} &= \dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( 2b + 2 \left(ax_i-y_i \right) + 0 \right)} &{(4.39)} \\&=\dfrac{1}{2m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ 2x_i \left( x_ia + \left(b-y_i \right) \right) } &{(4.40)} \\&=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ x_i \left( x_ia + b-y_i \right) } &{(4.41)} \\&=\dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{\left( ax_i+b-y_i\right) x_i} &{(4.42)} \end{aligned}∂a∂J(a,b)=2m1i=1∑m(2xi2a+2(b−yi)xi+0)=2m1i=1∑m2xi(xia+(b−yi))=m1i=1∑mxi(xia+b−yi)=m1i=1∑m(axi+b−yi)xi(4.35)(4.36)(4.37)(4.38)∂b∂J(a,b)=2m1i=1∑m(2b+2(axi−yi)+0)=2m1i=1∑m2xi(xia+(b−yi))=m1i=1∑mxi(xia+b−yi)=m1i=1∑m(axi+b−yi)xi(4.39)(4.40)(4.41)(4.42)
4.4 sklearn.metrics.r2_score的公式及变形推导
基础知识:
总体平方和(Total Sum of Squares):TSS=∑i=1m(yi−y‾)2TSS= \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}TSS=∑i=1m(yi−y)2(实际值与均值的差值的平方和)
回归平方和(Explained Sum of Squares):ESS=∑i=1m(y′−y‾)2ESS=\textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( y'-\overline{y} \right)^2}ESS=∑i=1m(y′−y)2(预测值与均值的差值的平方和)
残差平方和(Residual Sum of Squares):RSS=∑i=1m(yi−y′)2RSS=\textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-y' \right)^2}RSS=∑i=1m(yi−y′)2(实际值与预测值的差值的平方和)
TSS=ESS+RSSTSS=ESS+RSSTSS=ESS+RSS
均方差(Mean Square Error):MSE=1m∑i=1m(yi−y′)2=1mRSSMSE=\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-y' \right)^2}=\dfrac{1}{m}RSSMSE=m1∑i=1m(yi−y′)2=m1RSS
y的方差(Variance):vary=1m∑i=1m(yi−y‾)2=1mTSSvar_y=\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}=\dfrac{1}{m}TSSvary=m1∑i=1m(yi−y)2=m1TSS
x的方差(Variance):varx=1m∑i=1m(xi−x‾)2var_x=\dfrac{1}{m} \textstyle \sum_{i=1}^m{ \left( x_i-\overline{x} \right)^2}varx=m1∑i=1m(xi−x)2
标准差(Standard Deviation):std=varstd=\sqrt{var}std=var
R2=1−RSSTSS(残差平方和与总体平方和的比值)=1−MSEvary(均方差和yi的方差的比值)=astd(xi)std(yi)(直线系数a乘以xi和yi的标准差的比值)\begin{aligned} R^2 &=1-\dfrac{RSS}{TSS}(残差平方和与总体平方和的比值) \\&=1-\dfrac{MSE}{var_y}(均方差和y_i的方差的比值) \\&=a\dfrac{std(x_i)}{std(y_i)}(直线系数a乘以x_i和y_i的标准差的比值) \end{aligned}R2=1−TSSRSS(残差平方和与总体平方和的比值)=1−varyMSE(均方差和yi的方差的比值)=astd(yi)std(xi)(直线系数a乘以xi和yi的标准差的比值)
对R2R^2R2从上到下推导:
(4.43)~(4.45)证明:R2=1−RSSTSS=1−MSEvary\begin{aligned} R^2=1-\dfrac{RSS}{TSS}=1-\dfrac{MSE}{var_y} \end{aligned}R2=1−TSSRSS=1−varyMSE
(4.46)~(4.54)证明:R2=1−RSSTSS=astd(xi)std(yi)\begin{aligned} R^2=1-\dfrac{RSS}{TSS} =a\dfrac{std(x_i)}{std(y_i)} \end{aligned}R2=1−TSSRSS=astd(yi)std(xi)
注:y′=axi+by'=ax_i+by′=axi+b代入(4.48),b=y‾−ax‾b=\overline{y}-a\overline{x}b=y−ax代入(4.49)
R2=1−RSSTSS(4.43)=1−1mRSS1mTSS(4.44)=1−MSEvary(4.45)=TSS−RSSTSS(4.46)=ESSTSS(4.47)=∑i=1m(y′−y‾)2∑i=1m(yi−y‾)2(4.48)=∑i=1m(axi+b−y‾)2∑i=1m(yi−y‾)2(4.49)=∑i=1m(axi+(y‾−ax‾)−y‾)2∑i=1m(yi−y‾)2(4.50)=∑i=1m(axi−ax‾)2∑i=1m(yi−y‾)2(4.51)=a2∑i=1m(xi−x‾)2∑i=1m(yi−y‾)2(4.52)=a21m∑i=1m(xi−x‾)21m∑i=1m(yi−y‾)2(4.53)=a2var(xi)var(yi)(4.54)\begin{aligned} R^2 &=1-\dfrac{RSS}{TSS} &{(4.43)} \\&=1-\dfrac{\dfrac{1}{m}RSS}{\dfrac{1}{m}TSS} &{(4.44)} \\&=1-\dfrac{MSE}{var_y} &{(4.45)} \\&=\dfrac{TSS-RSS}{TSS} &{(4.46)} \\&=\dfrac{ESS}{TSS} &{(4.47)} \\&=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y'-\overline{y} \right)^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.48)} \\&=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+b-\overline{y} \right)^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.49)} \\&=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i+\left( \overline{y}-a\overline{x}\right)-\overline{y} \right)^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.50)} \\&=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( ax_i-a\overline{x} \right)^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.51)} \\&=\dfrac{a^2\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( x_i-\overline{x} \right)^2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.52)} \\&=a^2\dfrac{ \dfrac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( x_i-\overline{x} \right)^2}}{\dfrac{1}{m}\displaystyle \sum_{i=1}^m{ \left( y_i-\overline{y} \right)^2}} &{(4.53)} \\&=a^2\dfrac{var(x_i)}{var(y_i)} &{(4.54)} \end{aligned}R2=1−TSSRSS=1−m1TSSm1RSS=1−varyMSE=TSSTSS−RSS=TSSESS=i=1∑m(yi−y)2i=1∑m(y′−y)2=i=1∑m(yi−y)2i=1∑m(axi+b−y)2=i=1∑m(yi−y)2i=1∑m(axi+(y−ax)−y)2=i=1∑m(yi−y)2i=1∑m(axi−ax)2=i=1∑m(yi−y)2a2i=1∑m(xi−x)2=a2m1i=1∑m(yi−y)2m1i=1∑m(xi−x)2=a2var(yi)var(xi)(4.43)(4.44)(4.45)(4.46)(4.47)(4.48)(4.49)(4.50)(4.51)(4.52)(4.53)(4.54)
5 参考:
机器学习-周志华-P54
语雀Latex:https://www.yuque.com/yuque/gpvawt/brzicb
符号Katex:https://katex.org/docs/supported.html
小小福利:第4部分公式的推导,可以点击该链接下载相关Markdown文档。
2022-12-17补充一个问题转化过程以便更好理解解决问题的整个过程。
问题转化线索:
(10,27)是否合理
->求f(xi)=axi+bf \left( {x}_i \right)=ax_i+bf(xi)=axi+b的系数a和截距b(a和b达到最优解);
->求均方差MSE=1m∑i=1m(f(xi)−yi)2MSE=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m{ \left( f \left( x_i \right) - y_i \right) ^2 }MSE=m1∑i=1m(f(xi)−yi)2最小时的a和b的值;
->对a、b分别求导,取∂∂aE(a,b)=0,∂∂bE(a,b)=0\dfrac{\partial}{\partial a} E_{(a,b)}=0,\dfrac{\partial}{\partial b} E_{(a,b)}=0∂a∂E(a,b)=0,∂b∂E(a,b)=0,求解出a和b的值;
->代回f(xi)=axi+bf \left( {x}_i \right)=ax_i+bf(xi)=axi+b,求解xi=10{x}_i=10xi=10的函数值和27对比。
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来源:大数据文摘 编译:丁慧.katherine Hou.钱天培 作者:TirthajyotiSarkar 本文共1856字,建议阅读6分钟. 本文为大家对比了8种用Python实现线性回归的方法哪个 ...
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一.线性回归的理论 1)线性回归的基本概念 线性回归是一种有监督的学习算法,它介绍的自变量的和因变量的之间的线性的相关关系,分为一元线性回归和多元的线性回归.一元线性回归是一个自变量和一个因变量间的回 ...
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- 【案例实践】Python多元线性回归、机器学习、深度学习在近红外光谱分析中的实践应用
查看原文>>>基于Python多元线性回归.机器学习.深度学习在近红外光谱分析中的实践应用 [专家]: 郁磊副教授 主要从事MATLAB 编程.机器学习与数据挖掘.数据可视化和软件开 ...
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基于Python的线性回归预测模型介绍及实践 这是一篇学习的总结笔记 参考自<从零开始学数据分析与挖掘> [中]刘顺祥 著 完整代码及实践所用数据集等资料放置于:Github 线性回归预测 ...
- python 线性回归函数_8种用Python实现线性回归的方法,究竟哪个方法最高效?
大数据文摘作品 作者:TirthajyotiSarkar 编译:丁慧.katherine Hou.钱天培 说到如何用Python执行线性回归,大部分人会立刻想到用sklearn的linear_mode ...
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