从代数结构上理解数集的分类

集合上定义运算可以定义很多结构，在代数上习惯与用结构这个词，在几何中习惯于用空间这个词。几何中最基本的结构是线性空间，如果加上度量可以构成很多度量空间，这个度量可以是范数，可以是距离，可以是内积等。

如：

距离+线性空间 = 线性度量空间

范式+线性空间 = （线性）赋范空间

线性赋范空间+内积运算 = 内积空间

线性赋范空间+完备性 = 巴拿赫空间

因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备性的意思就是空间中的极限运算不能跑出该空间，如有理数空间中的 $2^{0.5}$ 的小数表示，其极限随着小数位数的增加收敛到 $2^{0.5}$ ，但 $2^{0.5}$ 属于无理数，并不在有理数空间，故不满足完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间，你从学校内的宿舍中开始一直往外走，当走不动停下来时（极限收敛），发现已经走出学校了（超出空间），不在学校范围内了（不完备了）。希尔伯特就相当于地球，无论你怎么走，都还在地球内（飞出太空除外）。

内积空间+有限维 = 欧几里得空间

内积空间+完备性 = 希尔伯特空间

在代数中，数集加上加减乘除，并定义运算性质，则构成了代数结构，做了个简单的导图如下：

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