一样例

二公式描述

三参考文献

最大期望算法（Expectation-maximization algorithm，又译为期望最大化算法），是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

最大期望算法经过两个步骤交替进行计算：

第一步是计算期望（E），利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值；

第二步是最大化（M），最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行。

一样例

举个例子，抛硬币，有两个硬币，但是两个硬币的材质不同导致其出现正反面的概率不一样，目前我们只有一组观测数据，要求出每一种硬币投掷时正面向上的概率。总共投了五轮，每轮投掷五次，现在先考虑一种简单的情况，假设我们知道这每一轮用的是哪一个硬币去投掷的：

那么我们拿着这样的一组数据，就可以很轻松的估计出A硬币和B硬币出现正面的概率，如下：

PA = （3+1+2）/ 15 = 0.4

PB= （2+3）/10 = 0.5

现在把问题变得复杂一点，假设我们不知道每一次投掷用的是哪一种硬币，等于是现在的问题加上了一个隐变量，就是每一次选取的硬币的种类。

那么现在可以想一想，假设我们把每一次硬币的种类设为z,则这五次实验生成了一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5)，现在问题来了，如果我们要根据观测结果去求出PA,PB，那么首先需要知道z，但是如果用最大似然估计去估计z，又要先求出PA,PB。这就产生了一个循环。那么这个时候EM算法的作用就体现出来了，EM算法的基本思想是：先初始化一个PA,PB，然后我们拿着这个初始化的PA,PB用最大似然概率估计出z，接下来有了z之后就用z去计算出在当前z的情况下的PA,PB是多少，然后不断地重复这两个步骤直到收敛。

有了这个思想之后现在用这个思想来做一下这个例子，假设初始状态下PA=0.2, PB=0.7，然后我们根据这个概率去估计出z：

按照最大似然估计，z=(B,A,A,B,A)，有了z之后我们反过来重新估计一下PA,PB：

PA = （2+1+2）/15 = 0.33

PB =（3+3）/10 = 0.6

可以看到PA,PB的值已经更新了，假设PA,PB的真实值0.4和0.5，那么你在不断地重复这两步你就会发现PA,PB在不断地靠近这两个真实值。

二公式描述

假设目标函数表示为：

$L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}P_\theta(y_i)$

其中 $\theta$ 为概率分布 $P_\theta(y)$ 的参数，在没有隐变量的情况下，我们求解L的最大值的套路是先对L取对数，将连乘的形式转换成累加的形式，然后就可以对未知数 $\theta$ 进行求导，只需要求得导数为0的位置未知量的值即为目标函数的极大值。但是，如果概率分布中有隐变量存在时，我们用全概率公式把隐变量在上式中体现出来：

全概率公式：

$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$

其中A需是一组完备事件组且都有正概率，则对任意B上式都成立。

$L(\theta)=\prod_{j=1}^{N}\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

两边同时取对数ln:

$lnL(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

从上式中可以看出，如果要按照之前的套路，那就需要对上式进行求偏导，但是由于ln中还包含了求和项，在偏导数中的形式将会非常复杂，而且很难求得解析解。因此需要找到一种办法去求得解析解的近似解，这里就引入了EM算法。为了表述的方便性，在这里用 $l(\theta)$ 代表 $lnL(\theta)$ ，则：

$l(\theta)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{z}P_\theta(z)P_\theta(y_i|z)$

对于求解近似解，EM算法采用的是迭代的方式不断地逼近真实值，假设第n次迭代的参数值为 $\theta_n$ ，第n+1次迭代的参数值为 $\theta_{n+1}$ ，那么其实只要满足 $l(\theta_{n+1})>l(\theta_n)$ 就可以不断地进行迭代。现在假设我们已经进行到了第n次迭代，也就是说 $\theta_n$ 目前是作为已知的值，那么来看一看 $l(\theta)-l(\theta_n)$

$l(\theta)-l(\theta_n)=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(y_j|z)P_{\theta_n}(z)$

由于这里 $\theta_n$ 是作为常数的，因此右式中的第二项可以不用将隐变量体现出，化简如下：

$=\sum_{j=1}^{N}ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-\sum_{j=1}^{N}lnP_{\theta_n}(y_j)$

$=\sum_{j=1}^{N}\left [ ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)-lnP_{\theta_n}(y_j)\right ]$

上式中，其实只需要关注求和里面的项就好了，做一个标注，记 $ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)$ 为I项，记为 $lnP_{\theta_n}(y_j)$ II项，接下来分别对这两项进行化简：

I项：

$ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)=ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

上式中的变换是因为 $\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y)=1$

接下来还会用到Jensen不等式，Jensen不等式是这么描述的：

假设f(x)为凸函数，X是随机变量，那么：E[f(X)]>=f(E[X])，通俗的说法是函数的期望大于等于期望的函数。

特别地，如果f是严格凸函数，当且仅当 $P\left( X=EX \right) =1$ ，即 $X$ 是常量时，上式取等号，即 $E\left[ f\left( X \right) \right] =f\left( EX \right)$ ，如下图所示：

再观察一下I项，感觉有一些像能够用Jensen不等式进行再一次的化简，下面写的直观一点：

$=ln\sum_{Z}P_\theta(y_j|z)\frac{P_{\theta_n}(z|y_j)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}=ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

把 $P_{\theta_n}(y_j)$ 当成X，那么上式 $\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$ 就是EX，又因为ln函数是凹函数，所以根据Jensen不等式有f(E[X])>=E[f(X)]，则

$ln\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)\frac{P_\theta(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}\geqslant \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}$

II项：

$lnP_{\theta_n}(y_j)=\left [ lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]\cdot \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)$

$= \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j)$

然后再把I-II合并起来看一下：

$I-II\geqslant \sum_{j=1}^{N}\left [ \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j)ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(y_j) \right]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)}-lnP_{\theta_n}(y_j) \right ]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j|z)P_\theta(z)}{P_{\theta_n}(z|y_j)P_{\theta_n}(y_j)} \right ]$

$=\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

将上式代回 $l(\theta)-l(\theta_n)$ ，

$l(\theta)-l(\theta_n)\geqslant \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

$l(\theta)\geqslant \sum_{j=1}^{N}\sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]+l(\theta_n)$

将右边的这一大串记为 $Q(\theta|\theta_n)$ ，称为下边界函数，EM算法的目的是要取得目标函数的极大值，那么可以通过不断地提升下边界函数值来不断地提升目标函数的值，接下来，再看一下 $Q(\theta|\theta_n)$ ，将其化简为便于优化迭代的形式：

$Q(\theta|\theta_n)=l(\theta_n)+ \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) \left[ ln\frac{P_{\theta}(y_j,z)}{P_{\theta_n}(z,y_j)} \right ]$

可以看到在等式的右边，由于我们之前的假设是 $\theta_n$ 是已知的，那么把已知量和未知量分开：

$= \sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta}(y_j,z)+l(\theta_n) -\sum_{j=1}^{N} \sum_{Z}P_{\theta_n}(z|y_j) lnP_{\theta_n}(z,y_j)$

上式中，等号右边的第一项中带未知项，第二项和第三项都是常数，所以接下来的过程就简单了，我们只要对这个式子求偏导 $\frac{\partial Q(\theta|\theta_n)}{\partial \theta}=0$ ，求得此时取极大值时 $\theta$ 的取值，这个值就是进入到下一步迭代是的概率分布参数值 $\theta_{n+1}$ ，有了 $\theta_{n+1}$ 之后就可以获得 $Q(\theta|\theta_{n+1})$ ，然后不断地迭代直到收敛。图示的话如下：

三参考文献

1. 如何通俗理解EM算法

【机器学习基础】EM算法相关推荐

em算法怎么对应原有分类_机器学习基础-EM算法
EM算法也称期望最大化(Expectation-Maximum,简称EM)算法,它是一个基础算法,是很多机器学习领域算法的基础,比如隐式马尔科夫算法(HMM), LDA主题模型的变分推断等等.本文就对 ...
机器学习基础 EM算法
文章目录一.初识EM算法二.EM算法介绍 1. 极大似然估计 1.1 问题描述 1.2 用数学知识解决现实问题 1.3 最大似然函数估计值的求解步骤 2. EM算法实例描述 3. EM算法流程三 ...
机器学习基础-经典算法总结
机器学习基础-经典算法逻辑回归逻辑回归的原理,问题的假设为什么逻辑回归也可称为对数几率回归推导逻辑回归损失函数逻辑回归损失函数求导逻辑回归为什么使用交叉熵作为损失函数 LR是不是凸优化问题 ...
【机器学习基础】算法工程师必备的机器学习--EM
『运筹OR帷幄』原创作者:华校专作者信息: 华校专,曾任阿里巴巴资深算法工程师.智易科技首席算法研究员,现任腾讯高级研究员,<Python 大战机器学习>的作者. 编者按: 算法工程师 ...
机器学习算法_机器学习之EM算法和概率图模型
[晓白]今天我准备更新Machine Learning系列文章希望对机器学习复习和准备面试的同学有帮助!之前更新了感知机和SVM,决策树&代码实战,关注我的专栏可以的文章哦!今天继续更新EM算 ...
em算法实例正态分布_【机器学习】EM算法详细推导和讲解
今天不太想学习,炒个冷饭,讲讲机器学习十大算法里有名的EM算法,文章里面有些个人理解,如有错漏,还请读者不吝赐教. 众所周知,极大似然估计是一种应用很广泛的参数估计方法.例如我手头有一些东北人的身高的 ...
机器学习之 EM算法
EM(Expectation-Maximum)算法也称期望最大化算法 EM算法是最常见的隐变量估计方法,在机器学习中有极为广泛的用途,例如常被用来学习高斯混合模型(Gaussian mixture m ...
机器学习之EM算法的原理及推导(三硬币模型)及Python实现
EM算法的简介 EM算法由两步组成:E步和M步,是最常用的迭代算法. 本文主要参考了李航博士的<统计学习方法> 在此基础上主要依据EM算法原理补充了三硬币模型的推导. 1.EM算法的原理 ...
机器学习之EM算法的原理推导及相关知识总结
文章目录 1.知道先验概率和后验概率 2.了解高斯混合模型GMM 3.通过最大似然估计推导EM算法的过程的实例 4.EM算法 5.知道pLSA模型 1.知道先验概率和后验概率先验概率(prior p ...
【机器学习】EM算法
EM算法目录一.似然函数与极大似然估计二.Jenson不等式三.数学期望的相关定理四.边缘分布列五.坐标上升法六.EM算法 1. 概论 2. 算法流程 3. 算法的推导 4. 敛散性证明 ...

【机器学习基础】EM算法

一样例

二公式描述

三参考文献

【机器学习基础】EM算法相关推荐

最新文章

热门文章

【机器学习基础】EM算法

一 样例

二 公式描述

三 参考文献

【机器学习基础】EM算法相关推荐

最新文章

热门文章

一样例

二公式描述

三参考文献