2022数学建模国赛A题赛后总结

就在前不久，一年一度的数学建模国赛落下帷幕，身为参与者与大家分享一下自己对A题的一些拙见。

和往年赛题类似，A题往往涉及到一些比较现实的实际生活中会遇到的物理问题，在参赛的同学中一般也只有理工科的学生回去选择A题，我自己也参加过几次其他单位举办的数学建模比赛，所以在这里我以电子信息工程专业的相关知识的角度来讲解一下题目的处理和求解。

一、分析浮子振子运动模型

首先，在问题一二当中整个浮体只做垂荡运动，而且还受到波浪激励力（矩）、附加惯性力（矩）、兴波阻尼力（矩）和静水恢复力（矩）等等一系列可能大家平时不大了解的作用力。要想正确的了解整个浮体将会在水面上如何运动，以上涉及到的作用力究竟是什么我们都需要去查阅资料搞明白。

在此就给大家大概介绍一下：

（1）附加惯性力：要想使物体在水中获得加速度所需要施加的与物体加速度成正比的力。 $F_{kt}=ma$ 。由于海水直接作用于振子，所以可以将该力视为加在振子上的力。

（2）兴波阻力：物体在水中运动想要获得速度所需要受到额外的阻力，与物体速度成正比。 $F_{z}=k*v$ 。

（3）静水恢复力：使物体恢复到平衡位置的作用力，与物体的相对平衡位置的位移成正比。 $F_{w}=k*x$ 。

了解了这几个陌生的名词后是不是觉得受力分析一下子变简单了许多。这整个振子-浮子模型就和我们所熟悉的两个质量块的弹簧阻尼系统很像了吧！只不过在对振子而言多出了几个海水对他的作用力。

所以接下来话不多说，直接上浮体系统的运动方程：

$m_{1}*\ddot{x_{1}}=fcos(\omega t)-Kt\dot{x_{1}}-k(x_{1}-x_{2})-k_{f}(\dot{x_{1}}-\dot{x_{2}})-m_{f}*\ddot{x_{1}}-\rho gAx_{1}$

$m_{2}*\ddot{x_{2}}=k(x_{1}-x_{2})+k_{f}(\dot{x_{1}}-\dot{x_{2}})-m_{2}g$

顺带一提，对振子的运动方程列写中可以选择没有振子自身重力这一项，只是为了方便计算进行的模型简化，因为重力在这个系统中是一个与时间无关的常量，加上重力也只是会导致平衡位置上下有所移动而已。

二、以信号与系统的观点求解

其实在最开始思考求解方法的时候还是觉得挺复杂的，想着使用ode45龙格库塔法来求解，这个方法本身没有问题，但是对于龙格库塔理解不够深的人可能编程会成为很大的麻烦，在matlab的函数编程中总是会有关于ode45用法的错误提示。

在这里我想和大家分享一下从信号与系统的观点解决这种问题的方法。

在信号与系统中，我们讲究从整个系统的角度来分析问题，任何一个有外源激励的系统，都会有它独自的系统函数，在输入激励变化时就会导致输出有变化。在像本题目中的这种复杂的运动模型中我们也可以采取相似的思路。输入激励是海水激励力fcos(wt)，而系统就是海水的各种作用力、弹簧阻尼力、和重力所组成的一个庞大的物理系统。

在时域范围内： $y(t)=x(t)*h(t)$ 系统输出等于输入与系统函数的卷积。

在频域范围内： $Y(w)=X(w)H(w)$ 系统输出等于输入与系统函数的乘积。

假设初始条件都为0的情况下（实际本题振子初始位移是不为零的，为了方便列些方程先忽略）：

对之前列写的运动方程做拉普拉斯变换：

$m_{1}s^{2}X(s)=F_{i}(s)-k[X(s)-X_{o}(s)]-k_{f}s[X(s)-X_{o}(s)]-Kt\cdot s^{2}X(s)$

$m_{2}s^{2}X_{o}(s)=k[X(s)-X_{o}(s)]+k_{f}s[X(s)-X_{o}(s)]-\frac{m_{2}g}{s}$

进行整理后得：

$X(s)=\frac{1}{m_{1}s^{2}+Kts^{2}}[F_{i}(s)-k[X(s)-X_{o}(s)]-k_{f}s[X(s)-X_{o}(s)]]$

$X_{o}(s)=\frac{1}{m_{2}s^{2}}[k[X(s)-X_{o}(s)]+k_{f}s[X(s)-X_{o}(s)]-\frac{m_{2}g}{s}]$

之后绘制系统框图：

这样一来不论输入的力是多少，它通过该系统的输出都将能都唯一确定、有迹可循。

三、在时域下进行仿真

显然，像上述，S域下系统函数的化简求解也不是一件容易的事，而且S域下处理更加适合于理论上的书面推导，对于利用matlab软件求解不是十分便捷。我们接下来使用simulink对该系统的时域进行仿真。

以上就是本人对2022数学建模国赛A题的一些拙见，可能其中会有一些具体方程列写错误的地方还请大家一起来讨论留言。

祝大家生活顺利，学业有成。