数理逻辑蕴含_16-证明逻辑等价式和逻辑蕴涵式
[音乐] 嗨，你好！ 下面我们来看看如何证明一些逻辑等价式和逻辑蕴涵式。 那个证明的方法呢，归纳起来有这么三种。 第一种呢， 很直接，很简单。 就是因为逻辑等价式和逻辑蕴涵式它都是某种程度上的 永真式，对吧，因为逻辑等价式呢， 是说A和B，如果要逻辑等价的话，那么它实际上就是说， A和B的双向蕴涵是一个永真式，那么 如果是A逻辑蕴涵B的话，那么也就是意味着 A蕴含B这么一个蕴含式呢是一个永真式。 那么既然有这样的一个定义，那么我们用真值表法呢 要证明A和B是逻辑等价或者说 A和B是逻辑蕴含的话呢，那么只要构造 A和B双向蕴含的和A和B单向蕴含的这个真值表，然后最后呢检查最后一列， 如果全是为真的话，那么这个就完成了我们的证明。 当然，这个真值表法呢看起来不是那么的聪明，因为 如果这个公式呢一复杂，那么你这个真值表呢就相当的这个庞大。 那么有第二种方法，第二种方法呢就是对于赋值进行讨论， 那么要证明A逻辑蕴含B的话，那么只要证明说 A的任意一个成真赋值都是B的成真赋值，或者说反过来 B的任意一个成假赋值都是A的成假赋值，那么这个呢 就可以完成了A逻辑蕴含B的这个证明，当然对赋值进行讨论并不是说 对于每一个赋值进行讨论，那么我们显然是要对赋值的各种 状况进行一个分类，并每一类进行讨论，如果每一类都符合我们的要求的话， 那么也就完成了证明。 那么这里头其中还有一点 就是如果我们既能够证明A逻辑蕴含B， 又证明了B逻辑蕴含A的话，那么其实我们也就完成了A和B 逻辑等价的这个证明，当然这也是赋值法， 赋值讨论法所带来的。 第三种方法呢就是推演法。 这个推演就是利用我们已知的这个重言式， 逻辑等价式，逻辑蕴含式，然后呢采用上一节我们 介绍过的代入原理和替换原理进行一步一步的 这个命题公式的这个形式形状上的这个变化， 最后能够得到我们所需要的那个结论就可以了。 下面呢我们来看看几个例子， 当然真值表法实际上没有什么可说的，我们就从 这个讨论赋值法来开始，我们来看看 如何去证明这么一个逻辑等价式，这个逻辑等价式是这样的， 它的A呢是A析取B然后呢蕴含C， 它的另一侧呢是A蕴含C和B蕴含C的这个 合取，那么我们要证明这两个命题公式它是逻辑等价的， 那么所以呢我们就要证明两个方向，我们先来看看第一个方向， 就是A和B的析取蕴含C，它能够逻辑蕴含A蕴含C和B蕴含C的一个合取， 我们先来证明这个，那么既然证明了我们就 可以用一个，左边的任意一个成真赋值，如果 都是右边的这个公式的一个成真赋值的话，那就可以完成 这个证明，那所以呢我们先假设α 是A析取B蕴含C的任意一个成真赋值， 那么这样呢经过讨论我们就会有两种情况，因为左边它是一个蕴含式， 蕴含式成真的要求呢一个呢是前件为假， 那么只要是前件为假，那后件是什么样的都可以无所谓了。 所以呢我们第一种情况就是α(A析取B)是假， 那既然这一个析取式为假，那么显然A和B都是为假，它同时为假， 所以呢α(A)等于α(B)就等于假，那既然 A和B都是为假，那么以A或者B作为前件的所有的 逻辑，所有的蕴含式那都是为真的，所以呢 α(A蕴含C)和α(B蕴含C)都为真， 那这样呢我们就从这个α(A 析取B)蕴含C这一个成真赋值呢就得到了 这个α(A蕴含C)，B蕴含C的合取为真，这是第一种情况我们得到了证明。 那么第二种情况呢，就是当你前件 为真，后件为真的时候，那么这个蕴涵式呢，也是为真。 那所以呢我们就要讨论，α(A和B的析取)为真，然后α(C)也为真， 那么这个情况下，那么我们来看看，A蕴涵C，和B蕴涵C会怎么样， 那么我们发现A蕴涵C和B蕴涵C它有一个共同点，就是它们的后件都为C， 那而我们这个赋值讨论里头，C呢恰恰是为真， 那我们知道一个蕴涵式，只要是后件为真，那么前件不管你是什么样子的，那么整个蕴涵式- 都为真， 所以呢在这个赋值情况下，α(A蕴涵C)和B蕴涵C呢，都为真。 那这样呢，从赋值的两种情况，我们都得到了 α(A蕴涵C)和B蕴涵C的合取为真，那么这样呢 从左到右的一个逻辑蕴涵关系就得到了证明。 接下来呢我们再来证明 反过来的方向，也就是A蕴涵C和B蕴涵C的合取， 它能够逻辑蕴涵A，B的析取再蕴涵C。 那么因为 反过来，那么我们发现呢，如果你反过来的这种从左到右来证明是比较困难的。 所以那反过来呢，那我们也反过来进行假设， 我们假设α呢是右边这个式子，也就是A B析取再蕴涵C的一个任意一个成假赋值， 我们来看看左边这个会怎么样。 那么这样的是一个成假赋值呢，只有一种情况，也就是一个蕴涵式， 它为假，只有可能是前件为真，后件为假的时候它为假， 所以呢，这样呢只有一种情况呢就是α(A和B的析取)为真，但是呢α(C)为假， 就这么一种情况。 那么这个情况呢，我们还要对它进行分， 再进一步地分类进行讨论，因为A和B进行析取为真的话，那么它 有可能是A为真，也有可能是B为真，那么我们先来看看A为真的情况， 那么当A为真，C为假的时候， 那么A蕴涵C呢，它显然是为假， 那么当B为真，C为假的时候，那么B蕴涵C呢，也 为假。 那所以呢，不管什么样的情况，只有这两种情况而言， 它，我们都能够得到，A要么是A蕴涵C为假，要么是B蕴涵C为假， 那所以呢，它们两个的合取就是为假，所以这样呢，我们就证明了 A，B析取蕴涵C的任意一个 成假赋值，那么都是A蕴涵C和B蕴涵C的合取的 成假赋值，所以呢，从原公式的从右到左，我们也得到了证明。 那么综合两个逻辑蕴涵，我们就能够证明说 这两个公式是逻辑等价的。 这是我们讨论赋值法，就是这样。 所以呢我们从这可以看出来， 讨论赋值法，你就要充分地了解合取，析取， 蕴涵，双向蕴涵，这些所有的联结词，它们的 成真或者成假的这种特性，以便来对这个赋值进行分类，然后来进行讨论，依据 我们最有利，最省事的方向，去做这种 赋值的这个划分，然后再来讨论它如何去影响 整个的命题公式，然后抓住其中的要点，就能够得到 赋值讨论法的这个完整的证明，当然这也是需要 基于你对于联结词的全面的了解来基础上来做的。 然后接下来呢我们来看看推演法， 那么推演法呢，就是纯粹地做 这个字符串的这种代换，那么我们来看看这个魔术是怎么做的。 我们先用推演法来证明一个逻辑等价式。 还是刚才那个，就是A，B的析取，蕴涵 C和A蕴涵C和B蕴涵C的这个合取， 看看如何去进行推演法的证明。 那么我们从左边开始，A析取B蕴涵C， 那么首先呢我们查找到有一个蕴涵等值式， 蕴涵等值式，就是P蕴涵Q就能够等于非P或Q， 然后呢用代入的原理，那么我们就能得到， 非A析取B，然后再析取上C，这是蕴涵等值式，我们这样呢相当于把 析取，把这个蕴涵给它换成了 析取和否定联结词的这样的一个组合。 然后第二步呢，我们用德摩根律， 把这个否定联结词深入到A和B上面，然后同时呢把析取变成合取， 那这样呢，用一个替换原理，就能够替换出 非A和非B的合取，然后呢再跟C进行析取， 然后接下来，很自然的，我们就用分配律， 把这个C呢分配到A和B的里边去，那么我们就会得到 非A析取上C和非B析取上C。 那我们这一眼看上去就能知道，它还可以用蕴涵等值式 来把它重新变换回来，那么非A析取C那就是A蕴涵C啦。 那接下来呢，非B析取C，那么显然也是B蕴涵C。 那这样经过了两次的这种替换之后， 我们就终于得到了我们右边的这个目标的命题公式，也就是A蕴涵C和B蕴涵C的合取。 这个呢就是整个推演法的证明的过程。 那么这个很明显， 它需要我们对于这个逻辑 蕴涵式，逻辑等价式，以及代入和替换的原理都 非常的熟悉，那么你就要熟悉了以后，你就可以非常灵活地运用它了，而且呢需要观察 你的左边和右边的命题公式之间，它能够有可能 的一个替换的路径，然后沿着这个路径去，曲曲折折的最后能够到右边， 这也是相当有技巧的。 那么我们来 再用另一个例子来看看推演法这样的技巧它能够到什么样的程度， 这个例子是A和B的合取，逻辑蕴涵非A， 蕴涵C蕴涵B，那么从这个两个公式的形状上看去， 它实际上是由合取变成了蕴涵， 那所以呢我们可能还是需要通过这个蕴涵等值式的变换，我们来看看， 首先呢是A合取B，那么它能够逻辑蕴涵 B，那么这个是从I2出发的，以I2作为 替换的这个规则，我们就得到了B， 那么从B呢又能够得到非C析取B， 那么这个呢也是从I1这样的一个逻辑蕴涵式得到的， 非C析取B，那既然是非C析取B， 那么很容易就用蕴涵等值式就能够得到C蕴涵B， C蕴涵B呢这样从右边的这个角度看来，它的这个蕴涵的后件我们就得到了， 那么C蕴涵B，那么它同样呢可以逻辑蕴涵，给它加上一个析取的公式， 我们这时候呢并不加任意一个公式，我们可以再把A给加回来， 这样呢就变成了A析取上C蕴涵 B，这样。 接下来呢，就再用 蕴涵等值式，把这个析取变成蕴涵。 析取呢本来是非P析取Q这样的形式，但是呢我们前面是A， 那么所以呢，A要变成非A，后件呢还保持一样， 所以呢这样呢，它就变成了我们所需要的那种形式，就是非A 析取上C析取，非A 蕴涵C蕴涵B，这样。
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