交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别？

一、概念区别

1. 均方差损失函数（MSE）
简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值

2. Cross-entropy（交叉熵损失函数)
交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。

二、为什么不用MSE（两者区别详解）

原因 1：交叉熵loss权重更新更快

1. MSE

比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为:

其中是损失，是我们期望的输出(真实值target)，为神经元的实际输出(输出值)

，

在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新和，因此需要计算损失函数对和的导数：

（其中和都是已知量，因为网络输入都是以形式输入的，所以上式直接的 “≈” 把和略去了）

而后更新和：

因为sigmoid函数的性质，如图的两端，几近于平坦，导致在取大部分值时会很小，这样会使得和更新非常慢（因为）。

再定量解释如下：

在上式

a) 当真实值

若输出值，则

b) 当真实值

若输出值，则

也就是平方损失（MSE）的梯度更新很慢，如下图所示

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候，应该减小步长（否则容易在最优解附近产生来回震荡），但是如果采用 MSE ，当梯度很小的时候，无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。（离目标很近和离目标很远，其梯度都很小）

2. Cross-entropy

为了克服上述 MSE 不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

1）二分类 Binary Cross-entropy

激活函数为 sigmoid
损失函数：

或者简写成：

其中，，表示样本数量。

同样求导可得：

证明如下：
其中,

因此，的梯度公式中原来的被消掉了，所以导数中没有这一项，权重的更新是受这一项影响（表示真实值和输出值之间的误差），即受误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。

2）多分类 Categorican Cross-entropy

激活函数为 softmax
可以看作是Sigmoid的一般情况，用于多分类问题。损失函数：

后续分析类似。

3. 补充 Cross-entropy 的缺点

sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

原因 2：MSE是非凸优化问题而 Cross-entropy 是凸优化问题

1.MSE

我们从最简单的线性回归开始讨论：
线性回归（回归问题）使用的是平方损失：

因为这个函数是凸函数，直接求导等于零，即可求出解析解，很简单。但是对于逻辑回归则不行（分类问题）【注意：逻辑回归不是回归！是分类！！】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数，则：

其中表示样本数量。
上式是非凸的，不能直接求解析解，而且不宜优化，易陷入局部最优解，即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示：

2.Cross-entropy

而，Cross-entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题。

以下进行详细说明和推导：

逻辑回归模型进行学习时，给定训练集，其中，可以应用 极大似然估计 估计模型参数，从而得到逻辑回归模型。设：

似然函数：
对数似然函数为：
接下来求的极大值，从而得到的估计值。这样一来，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑回归中通常的方法就是梯度下降法和拟牛顿法。极大似然函数是求极大，取个相反数，再对所有个样本取平均，即得到逻辑回归的损失函数：

并且这个损失函数 L(w) 是凸函数，没有局部最优解，便于优化。

以下是直观理解：
其中：

当类别标签为时，越靠近1则损失越小；当类别标签为时，越靠近1则损失越大.

三、总结

1.分类问题，都用 one-hot + cross-entropy

2.training 过程中，分类问题用cross-entropy，回归问题用mean squared error。

3.training 之后，validation / testing 时，使用classification error，更直观，而且是我们最关注的指标。（分类错误数量 / 总数）

即：

参考

《李宏毅机器学习》

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