ln(1+x)和ln(1-x)的麦克劳林级数

麦克劳林级数就是当a为0时的泰勒级数。

回顾一下泰勒级数先。

$f(a)=f(a)+\frac{{f}'(a)}{1!}*(x-a)+\frac{{f}''(a)}{2!}*(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}*(x-a)^{3}.....$

先算ln(1+x)吧

$f(0)=ln(1)=0$

几阶导	导数式	$\frac{f^{(n)}}{n!}$ 第n项值
${f}'(x)$	$\frac{1}{x+1}$	1
${f}''(x)$	$\frac{-1}{(x+1)^{2}}$	$\frac{-1}{2!}=\frac{-1}{2}$
$f^{(3)}$	$\frac{-1*-2}{(x+1)^{3}}=\frac{2}{(x+1)^{3}}$	$\frac{2!}{3!}=\frac{1}{3}$
$f^{(4)}$	$\frac{2*-3}{(x+1)^{4}}$	$\frac{-3!}{4!}=\frac{-1}{4}$
$f^{(5)}$	$\frac{2-3}{(x+1)^{4}}=\frac{23*4}{(x+1)^{5}}$	$\frac{4!}{5!}=\frac{1}{5}$

所以

$ln(x+1)=(x-0)-\frac{1}{2}(x-0)^{2}+\frac{1}{3}(x-0)^{3}-\frac{1}{4}(x-0)^{4}+\frac{1}{5}(x-0)^{5}-\frac{1}{6}(x-0)^{6}+...$ $ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}+...$

ln(x+1）的麦克劳林级数为 $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}$

好了，接下来，我们求ln(1-x)的麦克劳林级数

同样的，为了清晰起见，咱画一张表

几阶导	导数式	$\frac{f^{(n)}}{n!}$ 第n项值
${f}'(x)$	$\frac{-1}{1-x}$	-1
${f}''(x)$	$\frac{-1-1-1}{(1-x)^{2}}$	$\frac{-1}{2!}=\frac{-1}{2}$
$f^{(3)}$	$\frac{-1-2-1}{(1-x)^{3}}$	$\frac{-2!}{3!}=\frac{-1}{3}$
$f^{(4)}$	$\frac{-2!-3-1}{(1-x)^4}$	$\frac{-3!}{4!}=\frac{-1}{4}$
$f^{(5)}$	$\frac{-4!}{(1-x)^{5}}$	$\frac{-4!}{5!}=\frac{-1}{5}$
$f^{(6)}$	$\frac{-4!-5-1}{(1-x)^{6}}$	$\frac{-5!}{6!}=\frac{-1}{6}$

所以ln(1-x)的麦克劳林级数就可以得出来啦，因为次数是负的，然后是-x，所以两个抵消，就一直是负的

$ln(1-x)=-(x-0)-\frac{1}{2}(x-0)^{2}-\frac{1}{3}(x-0)^{3}-\frac{1}{4}(x-0)^{4}-\frac{1}{5}(x-0)^{5}-\frac{1}{6}(x-0)^{6}-...$

ln(1-x)的麦克劳林级数为 $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{-1}{n}x^{n}$

最后，总结一下

$ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}+...$

$ln(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{6}x^{6}-...$

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