为了给各位学习A-level国际课程的同学们，带来更多的干货备考资料。深圳新东方国际学科的各位老师们在百忙的授课之余；整理出了一份原创的“A-level各学科备考系列文章”。

以下是“深圳新东方国际学科备考系列”的第三篇，由深圳新东方国际学科-邰佳丽老师供稿的：

A-level物理：

相位和相位差的数学解释及物理应用

在A-level的物理课程学习中，我们接触到了不少周期性运动的模型，比如wave interference和particle oscillation。在描述这类运动中，我们考的虽然不深入，但在理解上却常常有障碍的一个概念就是“phase”和“phase difference”。

这篇文章我们就帮大家把这个数学的坑填上。

1.Phase是干什么用的?

周期性(periodic)运动中，描述某一刻运动所属的阶段(stage)，单位是radian.

我们在生活中会在描述月相的变化时提到这个概念，因为月相的变化是周期性发生的，每一个月(周期)中，月亮的位置和形状会发生一轮变换，而在这一轮变化中，我们把月相所处的阶段叫做phase。无论是一月还是二月，八月..月相都会经历相同的阶段的变化，在每个阶段的月亮都是一样的盈缺。

图一 月相变化

2.为什么单位是radian?

这里是参照了匀速圆周运动(uniform circular motion)的颗粒(particle)，通过比较角位移(angular displacement)和2π的关系(一圈的角位移)可以很方便的对比不同圈数物体运动所属的阶段的关联，

例如：

3.In phase 和 out of phase

我们举个例子来帮助同学们理解如何用phase描述周期性运动的“阶段”。

用一束光垂直屏幕照射向做匀速圆周运动的颗粒，颗粒的阴影在竖直(vertical)方向做简谐振动(oscillation)。由于颗粒是匀速(uniform)转动的，角位移(angular displacement)θ=ωt(ω是角速度 angular velocity)，也就意味着时间t与θ是正比例关系,颗粒竖直方向的运动量(比如vertical displacement，velocity, acceleration)随t的变化也可以转换成随θ变化。

图2 圆周运动角位移与简谐振动颗粒相位是等价的

以影子偏离平衡位置的位移(vertical displacement)为例，不同角位移的颗粒，如果角位移相差2π的整数倍，影子的vertical displacement是一样的。这样，通过转换角位移为2π*n+Ф的形式，通过比较这个多出来的不满2π的角度Ф就可以确定颗粒在vertical direction单个周期(period)运动中所属的阶段(stage)，只要对比两个颗粒的相位(phase)的差别(phase difference),就可以对比他们的运动量的差别。

例如图3所示，当影子在t=0.125T(T是运动的周期)，和t=(1+0.125)T，对应的phase 则分别是 π/4和 9π/4，影子的运动其实是完全同步(displacement, velocity, acceleration的大小和方向都一样)的，也就是我们所说的in phase，此时它们的phase difference是2π。

*Two varying quantities are said to be in phase if their maximum and minimum values occur at the same instants; otherwise, there is said to be a phase difference.

图3 in phase的两个状态

而对比图四中t=0.125T和t=0.625T时的运动，对应的phase则分别是和，是完全反向(影子的displacement，velocity，acceleration大小相等，方向相反),叫out of phase，此时它们的phase difference是π。

图4 out of phase的两个角

因此，我们可以总结：当两个运动状态particles的phase difference=π*2n,它们就是in phase;而当两个颗粒的phase difference=π*(2n+1)时，两个状态是out of phase。

4. Path difference 和 phase difference

除了运动的时间，还有什么因素可以让两个颗粒有phase difference?

我们发现，当一个wave在传播过程中，在波的传播方向上，不同位置(position)的两个点,由于距波源的距离不同，他们发生振动(vibration)的总时间也是不同的，也是有phase difference的。对于同一均匀介质中传播的波(波速v一定)，两个颗粒之间相差的距离(path difference)是波长的几倍，则他们的振动总时间就相差周期的几倍，因此他们的phase difference就应该是2π的几倍。如图5中A点和I点就是同相点(in phase),A点和E点就是反相点(out of phase)。

图五 波传播方向上不同颗粒的运动对比

即：

综上所述，我们可以把travelling wave中振动(颗粒或者是电场磁场强度)的位移方程总结为：

可以看出，phase的变化引起displacement的变化，而phase的变化来源于(kx, k=2π/λ)参考点相对波源的位置)和时间的变化(ωt)。

5. Phase difference 在interference中的解释

当两列波相遇的时候，同一位置的“particle”就像接受到两个指令的士兵，它需要按照波的叠加原理进行运算，做出最终的行动(actual displacement)。运算的规则就是求两列波displacement的vector sum.如图6。

图6 两列波的叠加(superposition of two waves)

然而，由于我们每一列波上的某一个颗粒的displacement是按照随时间变化的函数:

变化的(kx1代表的是在相遇时该颗粒所在位置距第一列波波源的距离)。因此，可以运用三角函数的加法来计算两列振幅相同，并且频率一样(意味着相同时间t内，phase的变化一样)的波叠加在一起的resultant displacement。

这里可以认为ΔФ是两列波相遇时的起始相位差，是不随时间变化的；而

是随时间变化而变化的相位。

我们在讲到稳定的干涉发生的条件是：(振幅接近，频率一样)相位差不变。我们心心念念的相干(coherent：constant phase difference)就来自这个不随时间变化的ΔФ。

根据 ：

resultant displacement

从这个公式中，蓝色的部分体现了颗粒的resultant displacement会随时间的变化而变化；而红色的部分体现了叠加的波的振幅是与时间没有关系，但与两列波的初始相位差ΔФ有关系。

叠加过程有两个特例是：

但是一般情况下，当两列叠加的波的相位差如果不是特殊值，意味着amplitude是会变化的。如图7的双缝干涉(double slits interference)中，屏幕上intensity(体现着叠加后particle的振幅amplitude大小)波峰处就是constructive interference,而波谷处就是destructive interference,中间区域代表着非特殊相位差叠加条件下产生的波的amplitude是连续变化的。

图7 双缝干涉现象

6.Phase difference在stationary wave中的解释

驻波(standing wave 或stationary wave)本质上也是两列波干涉(interference)的结果。

我们对于驻波形成的描述是向前传播(moving forward)的波和反弹(reflected)的波叠加在一起，产生了nodes和antinodes,在node和antinode之间振动的振幅(amplitude)随位置不同而变化，并且在node同侧(左或者右)的振动是in phase(同时到达maximum displacement或者同时到达minimum displacement)，而node两侧的振动是out of phase(一个到达maximum displacement时，另一个到达minimum displacement)。

这一系列的过程和结论其实也可以通过波函数的加法运算得到很好的数学解释。

入射波的波函数为：

反射波在界面处由于传播方向反向，

图8 reflection of wave

得到：

红色部分反映振幅(amplitude)随位置变化，蓝色部分反映displacement随时间的变化。

可以看出：

以上就是利用波函数解释了相位和相位差的概念在物理现象中的影响。

我们知道了相位差来源于距离差(path difference)和时间的变化，并借助了波函数的运算得知了相位差的不同会导致叠加后形成一个新的波，在我们高中阶段并不要求大家用这样的数学手段来定量分析，只是要求大家定性的知道这些因素的因果关系，但是大学阶段则更多的要求大家能用数学方法分析并解释物理过程。

也就是要向真正的理解和解决物理事实，数学分析还是很有用的工具。