前言
这是 A visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds这本书的读书笔记（和一些碎碎念），这本书真的写得很好，只要你有微积分和线性代数的基础就可以读，虽然内容有点少（相比起Tu的那本书而言）但是对于我这样的入门汉足够了。这个系列我尽量一个星期更新一章吧。。。本来笔记是只留在本地的，但是用来做笔记的软件（语雀）突然收费了，好慌张，还是在CSDN留个备份比较安心，还有这狗屎一般的Markdown我真的无力吐槽。。。

Chapter1 背景知识 Background Material

对偶空间 Dual Space

本书若无特殊说明，大多数时间只讨论nnn维欧氏空间。
我们在线性空间里可以用矩阵表示一个线性映射，即把一个线性空间里的元素映射到另一个线性空间里去（例如从R3→R2R^3\to R^2R3→R2或者反过来R2→R3R^2\to R^3R2→R3）。特别的，我们现在关注那些可以把向量映射到实数域上的线性映射TTT，即T:Rn→RT: R^n\to RT:Rn→R，我们把这种映射称为线性函数 (Linear Function)，或者称作向量空间VVV上的线性泛函。
我们从以上的分析可以知道，一个线性泛函如果用矩阵来表示，那么它一定是一个n×1n\times 1n×1的矩阵，或者说是一个行向量（因为只有一个n×1n\times 1n×1的行向量乘上一个1×n1\times n1×n的列向量才能得到一个实数）。

定义：线性空间VVV上所有的线性泛函所构成的空间，称为对偶空间，记作V∗V^*V∗
容易验证，对偶空间也是一个线性空间（这里略过证明），那么下一个问题就是：对偶空间的基(Basis)是什么？
以R2R^2R2为例，将R2R^2R2的一组标准正交基（就是e1,e2)e_1,e_2)e1,e2)为基底，设TTT是一个线性泛函，则
T([xy])=T(x[10]+y[01])=xT([10])+yT([01])=xc1+yc2T ( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} )=T\left( x\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right)=xT\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \right) + yT\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right) =xc_1+yc_2 T([xy])=T(x[10]+y[01])=xT([10])+yT([01])=xc1+yc2
其中
T([10])=c1T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \right)=c_1T([10])=c1
T([01])=c2T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right)=c_2T([01])=c2
可以看到，TTT作为线性泛函，当作用于一个具体的向量[xy]\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}[xy]时，其结果只依赖于c1c_1c1和c2c_2c2（选取其他基底时会有不同，但初学时只关注这种特殊情况），所以只要确定了c1c_1c1和c2c_2c2这个函数TTT也就被确定了。

对偶空间的基：设VVV的一组基为e1,e2,...,en{e_1,e_2,...,e_n}e1,e2,...,en，则α1,α2,...,αn{\alpha ^1,\alpha ^2,...,\alpha ^n}α1,α2,...,αn是V∗V^*V∗的一组基，其中αi(ej)=δij={1,i=j0,i≠j\alpha^i(e_j)=\delta_{ij}= \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}αi(ej)=δij={1,0,i=ji=j

还是以R2R^2R2举例，[10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}[10]和[01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}[01]作VVV的基，设T1T_1T1和T2T_2T2为两个线性泛函定义如下
T1([10])=1T_1(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} )= 1T1([10])=1
T1([01])=0T_1 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right)= 0T1([01])=0
T2([01])=1T_2 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right)= 1T2([01])=1
T2([10])=0T_2 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \right)= 0T2([10])=0

我们可以验证以下结果（不写过程了）

T1([xy])=xT_1 \left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \right) = xT1([xy])=x 且 T2([xy])=yT_2 \left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \right) = yT2([xy])=y
∀T∈V∗[T([10])=c1T([01])=c2]⇒T=c1T1+c2T2\forall T\in V^* \left[ T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \right)=c_1 \quad T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \right)=c_2 \right] \Rightarrow T=c_1T_1+c_2T_2∀T∈V∗[T([10])=c1T([01])=c2]⇒T=c1T1+c2T2
{T1,T2}\{T_1, T_2\}{T1,T2}是V=R2V=R^2V=R2的一组基
符号约定：如果Ti(ej)=δijT_i(e_j)=\delta_{ij}Ti(ej)=δij那么我们称T1T_1T1是向量e1e_1e1的对偶，T2T_2T2是向量e2e_2e2的对偶，并以此类推；同时称{T1,T2}\{ T_1, T_2\}{T1,T2}是{e1,e2}\{e_1,e_2\}{e1,e2}的对偶基；我们通常将对偶基T1,T2T_1,T_2T1,T2记作e1,e2e^1,e^2e1,e2，即ei(ej)=δjie^i (e_j) = \delta^i_jei(ej)=δji，其中δji\delta^i_jδji也被称为Kronecker delta function.
容易观察到对偶基依赖于向量空间的基的选择，倘若我们始终以下面这组标准正交基
[100...0],[010...0],[001...0],...,[000...1]\begin{bmatrix} 1 \\0 \\0 \\... \\0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\1 \\0 \\...\\0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\0 \\1 \\...\\0 \end{bmatrix} , ..., \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \\...\\1 \end{bmatrix} 100...0,010...0,001...0,...,000...1

作为RnR^nRn的基，那么很容易得到其对偶基为
[100...0],[010...0],[001...0],...,[000...1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & ... & 0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & ... & 0\end{bmatrix} , ... , \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & ... & 1\end{bmatrix}[100...0],[010...0],[001...0],...,[000...1]
只要将上面那组基转置一下即可。

水平集

水平集简单来说，就是我们希望在V=RnV=R^nV=Rn里画出V∗=(Rn)∗V^*=(R^n)^*V∗=(Rn)∗的图像，具体做法如下
由上面对对偶基的讨论可知（未加说明，对偶基均指标准正交基导出的那组基），eie^iei实际上就是只“保留”了向量v=(a1,a2,...,an)v=(a_1,a_2,...,a_n)v=(a1,a2,...,an)的第iii个元素，即ei(v)=aie_i(v)=a_iei(v)=ai。
以二维为例，e1e^1e1对于
A=[3.51.5],B=[−3.51.5],C=[1.9−1],D=[−1.5−1.5]A=\begin{bmatrix} 3.5 & 1.5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} -3.5 & 1.5\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1.9 & -1\end{bmatrix}, D=\begin{bmatrix} -1.5 & -1.5\end{bmatrix}A=[3.51.5],B=[−3.51.5],C=[1.9−1],D=[−1.5−1.5]
的图像大概就是

可以看到，AAA恰好穿过了三条线，因此e1(A)≈3e^1(A)\approx3e1(A)≈3同理有e1(B)≈−3e_1(B)\approx-3e1(B)≈−3以此类推。
而e2e^2e2的图像也类似，如下

更重要的是，画出了对偶基的图像，我们实际上就知道了任何一个线性泛函的图像，例如f=2e1+e2f=2e^1+e^2f=2e1+e2的图像，我们首先找到
v∈Vs.t.f(v)=1v\in V \quad s.t. \quad f(v)=1v∈Vs.t.f(v)=1即
2x+y=1⇒y=−2x+12x+y=1\Rightarrow y = -2x+12x+y=1⇒y=−2x+1
就可以得到一条直线，接着令f(v)=2f(v)=2f(v)=2,f(v)=3f(v)=3f(v)=3,f(v)=4f(v)=4f(v)=4…得到如下的图

其中A=[1/21],B=[1−3]A=\begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}A=[1/21],B=[1−3]，明显A,BA,BA,B分别穿过了2条和-1条线，于是可以大概估计到f(A)=2,f(B)=−1f(A)=2, f(B)=-1f(A)=2,f(B)=−1，实际计算后也是如此，这就是水平集（或者叫等值面）的意义。

体积与行列式 Volume and Determinants

在一个nnn维的向量空间中，我们定义一个由nnn个向量组成的“平行六面体”的体积是一个函数D:Rn→RD:R^n \rightarrow RD:Rn→R，从直觉上我们希望它满足如下的要求：

D(I)=1D(I)=1D(I)=1，其中III是单位矩阵；这意味着每条边都是单位长度的“平行六面体”的体积应该是111
vi=vj(i≠j)⇒D(v1,v2,...,vn)=0v_i=v_j( i\neq j)\Rightarrow D(v_1,v_2,...,v_n)=0vi=vj(i=j)⇒D(v1,v2,...,vn)=0；这是想让某一条边viv_ivi跟另一条边vjv_jvj重合时，体积为零
DDD是线性的；即
D(v1,...,vj−1,v+cw,vj+1,...,vn)=D(v1,...,vj−1,v,vj+1,...,vn)+cD(v1,...,vj−1,w,vj+1,...,vn)D(v_1,...,v_{j-1},v+cw,v_{j+1},...,v_n) =D(v_1,...,v_{j-1},v,v_{j+1},...,v_n) +cD(v_1,...,v_{j-1},w,v_{j+1},...,v_n) D(v1,...,vj−1,v+cw,vj+1,...,vn)=D(v1,...,vj−1,v,vj+1,...,vn)+cD(v1,...,vj−1,w,vj+1,...,vn)
而根据以上性质推出来的映射DDD就是我们所熟知的行列式的计算法则与性质，且可以证明这样的DDD存在且唯一。

多元函数的微分 Derivatives of Multivariable Functions

设f:Rn→Rmf:R^n\to R^mf:Rn→Rm，即
f(x1,x2,...,xn)=(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))f(x_1,x_2,...,x_n)=( f_1(x_1,x_2,...,x_n), f_2(x_1,x_2,...,x_n), ..., f_m(x_1,x_2,...,x_n) ) f(x1,x2,...,xn)=(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))
若fff可微，即
lim⁡x→x0∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥∥x−x0∥=0\lim_{x\to x_0} \frac {\Vert f(x)-f(x_0)-Df(x_0)(x-x_0)\Vert} {\Vert x-x_0\Vert} =0x→x0lim∥x−x0∥∥f(x)−f(x0)−Df(x0)(x−x0)∥=0

其中
v=[x1...xn]v = \begin{bmatrix} x_1\\.\\.\\.\\x_n\end{bmatrix}v=x1...xn
∥v∥=∑i=1nxi2\quad \Vert v\Vert=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}∥v∥=i=1∑nxi2
设DfDfDf是fff的微分，容易验证其具有线性性，可以作为线性主部来近似于某一点的函数值。
Df(x)Df(x)Df(x)的矩阵表示形式称为Jacobian矩阵，如下
Df(x)=[∂f1∂x1,∂f1∂x2,...,∂f1∂xn∂f2∂x1,∂f2∂x2,...,∂f2∂xn...∂f3∂x1,∂f3∂x2,...,∂f3∂xn]=[∂fi∂xj]i=row,j=clumnDf(x)= \begin{bmatrix} \frac {\partial f_1}{\partial x_1} , \frac {\partial f_1}{\partial x_2} , ... , \frac {\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac {\partial f_2}{\partial x_1} , \frac {\partial f_2}{\partial x_2} , ... , \frac {\partial f_2}{\partial x_n} \\ ... \\ \frac {\partial f_3}{\partial x_1} , \frac {\partial f_3}{\partial x_2} , ... , \frac {\partial f_3}{\partial x_n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac {\partial f_i} {\partial x_j} \end{bmatrix}_{i=row,\quad j=clumn} Df(x)=∂x1∂f1,∂x2∂f1,...,∂xn∂f1∂x1∂f2,∂x2∂f2,...,∂xn∂f2...∂x1∂f3,∂x2∂f3,...,∂xn∂f3=[∂xj∂fi]i=row,j=clumn

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