二维高斯曲面拟合法求取光斑中心

（1）二维高斯去曲面拟合推导
一个二维高斯方程可以写成如下形式：

其中，G为高斯分布的幅值，,为x,y方向上的标准差，对式（1）两边取对数，并展开平方项，整理后为：
假如参与拟合的数据点有N个，则将这个N个数据点写成矩阵的形式为：A = B C，

其中：

A为N1的向量，其元素为：

B为N5的矩阵：

C为一个由高斯参数组成的向量：

（2）求解二维高斯曲线拟合

N个数据点误差的列向量为：E=A-BC，用最小二乘法拟合，使其N个数据点的均方差最小，即：

在图像数据处理时，数据量比较大，为减小计算量，将矩阵B进行QR分解，即：B=QR，分解后Q为一个NN的正交矩阵，R为一个N5的上三角矩阵，对E=A-BC进行如下推导：

由于Q为正交矩阵，可以得到：

令：

其中：
S为一个5维列向量；T为一个N-5维列向量；R1为一个5*5的上三角方阵，则

上式中，当S = R1C时取得最小值，因此只需解出：

即可求出：

中的

这些参数，这里先给出：

这里：

（3）C++代码实现，算法的实现过程中由于涉及大量的矩阵运算，所以采用了第三方的开源矩阵算法Eigen，这里真正用于高斯拟合的函数是

bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)

关于Eigen的用法请参考：http://blog.csdn.net/hjx_1000/article/details/8490941

#include "stdafx.h"
#include "GaussAlgorithm.h"VectorXf m_Vector_A;
MatrixXf m_matrix_B;
int m_iN =-1;bool InitData(int pSrc[100][100], int iWidth, int iHeight)
{if (NULL == pSrc || iWidth <=0 || iHeight <= 0)return false;m_iN = iWidth*iHeight;VectorXf tmp_A(m_iN);MatrixXf tmp_B(m_iN, 5);int i =0, j=0, iPos =0;while(i<iWidth){j=0;while(j<iHeight){tmp_A(iPos) = pSrc[i][j] * log((float)pSrc[i][j]);tmp_B(iPos,0) = pSrc[i][j] ;tmp_B(iPos,1) = pSrc[i][j] * i;tmp_B(iPos,2) = pSrc[i][j] * j;tmp_B(iPos,3) = pSrc[i][j] * i * i;tmp_B(iPos,4) = pSrc[i][j] * j * j;++iPos;++j;}++i;}m_Vector_A = tmp_A;m_matrix_B = tmp_B;}
bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)
{if (m_iN<=0)return false;//QR分解HouseholderQR<MatrixXf> qr;qr.compute(m_matrix_B);MatrixXf R = qr.matrixQR().triangularView<Upper>();MatrixXf Q =  qr.householderQ();//块操作，获取向量或矩阵的局部VectorXf S;S = (Q.transpose()* m_Vector_A).head(5);MatrixXf R1;R1 = R.block(0,0,5,5);VectorXf C;C = R1.inverse() * S;x0 = -0.5 * C[1] / C[3];y0 = -0.5 * C[2] / C[4];return true;
}

其中：

函数 bool InitData(int pSrc[100][100], int iWidth, int iHeight)主要用于将数组转换成相应的矩阵，因为我的所有数据都在一个整形的二维数组中存着，所以需要做这种转换。

函数bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)主要用于对数据点进行二维高斯曲面拟合，并返回拟合的光点中心。

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