Java经典“羊车门”概率问题解答

经典“羊车门”概率问题解答

羊车门问题出自美国《parade》杂志中一个叫作“ask marilyn”的专栏，问题表述如下：

台上有三个门，参赛者需要在三扇门中选择一扇门打开。其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊（主持人提前知道哪扇门后是山羊，且一定打开后面是山羊的门）。这时，他给参赛者可以重选的机会，也就是可以换选剩下的另一扇门。

那么，关于换不换的问题，有人认为应该换，有人认为不应该换，也有人认为换不换都一样。此问题在当时引起了很大的争议，时至今日也存在着许多不同的看法。

我个人认为应该选择换，选择换门最终能赢得汽车的概率更大一些。

三扇门，两羊一车，从表面上看，在得知第三扇门（假设主持人打开的是第三扇门）后是羊的情况下，1号门与2号门后，有一扇门后是车，一扇门后是羊，选择1号门或2号门，无论换与不换，赢得汽车的可能性是相同的，因为每扇门后面非羊即车，实则不然。

在打开第三扇门是羊的前提下，剩下的两扇门中一羊一车，如果参赛者在第一轮中选择的是后面是羊的门，那么换门后它会看到汽车，如果参赛者在第一轮中选择的是后面是汽车的门，那么换门后它会看到羊。

从概率角度分析，在不换门情况下，赢得汽车的情况是参赛者在第一轮就选到后面是汽车的门，第一轮选到汽车是三选一，概率为1/3。在换门的情况下，赢得汽车的情况是参赛者在第一轮选到的是后面是羊的门，这样才能在第二轮中换门来选到后面是汽车的门，第一轮选到羊是三选二，概率为2/3。

如果是三扇门两羊一车理解起来比较困难的话，可以更改游戏规则，反复体会其中道理。现有100扇门，其中99扇门后面是羊，1扇门后面是汽车。参赛者在第一轮选择完毕后，主持人会打开98扇后面是羊的门，剩下两扇门，问参赛者要不要更换选择。

参赛者肯定希望最终能够打开后面是汽车的门，如果选择不换门，那么意味着参赛者认定自己第一轮选的这扇门后面是汽车，第一轮有100扇门可以选择，因此他在第一轮选到汽车的概率是1/100。如果选择换门，那么意味着参赛者第一轮选的这扇门后面只要是羊就可以，这样才能在换门后选到汽车，而他在第一轮选到羊的概率是99/100。因此换门能赢得汽车的概率更大。

更改规则后的游戏，其中的原理与原问题一致，只不过增大了换门与不换门赢得汽车之间概率的差值，个人觉得更容易理解问题。

参考代码如下：

public static void main(String[] args) {String[] door = new String[100]; // 新建一个数组，其中每个元素代表1扇门// 初始化100扇门后是羊for (int i = 0; i < door.length; i++) {door[i] = "羊";}Random r = new Random();int number = r.nextInt(100); // 生成一个0-99之间的随机数numberdoor[number] = "车"; // 给随机生成的第number个索引位置赋值为汽车，意为将汽车放到第（number + 1）扇门后面// 此时已完成99扇门后是羊，随机1扇门后是汽车// 接收用户数据，第一轮选择第几扇门Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("请选择1-100中的第几道门：");int choose = sc.nextInt();System.out.print("第");int line = 0; // 定义变量line，展示数据时换行用if (door[choose - 1] == "车") { // 如果第一次选择的门后面是车，则在剩下99扇后面是羊的门中输出随机的98扇int random = r.nextInt(100); // 随机生成不输出的1扇门// 若随机生成的门恰好是第一次选择的门，则重新生成while (random == choose - 1) {random = r.nextInt(100);}// 在剩下99扇后面是羊的门中输出随机的98扇for (int i = 0; i < door.length; i++) {// 如果是刚刚随机生成的1扇门或后面是汽车的门，则跳过，不输出if (i == random | i == (choose - 1)) {continue;}System.out.println((i + 1) + "、");// 每40条数据换行if (line % 40 == 0) {System.out.println();}}} else { // 如果第一次选择的门后面是羊，则输出剩下的后面是羊的98扇门// 打开98扇后面是羊的门，剩下2扇门未打开（参赛者第一轮选择的门和后面是汽车的门）for (int i = 0; i < door.length; i++) {String sheetDoor = door[i]; // 遍历每扇门，查看门后是什么// 输出除第一轮选择的门之外的后面是羊的98扇门if (sheetDoor == "羊" & (i + 1) != choose) {System.out.print((i + 1) + "、");line++;}// 每40条数据换行if (line % 40 == 0) {System.out.println();}}}System.out.println("道门后面是羊");System.out.println("请选择要不要换门，1换，2不换");// 接收用户数据，第二轮的选择int choose2 = sc.nextInt();// 若选择不换，则输出该扇门后的东西，并给出相应提示if (choose2 == 2) {System.out.println("你选择不换，第" + choose + "道门后是" + door[(choose - 1)]);if (door[(choose - 1)] == "车") {System.out.println("恭喜你，选中了车");} else {System.out.println("很遗憾，你选中了羊");}} else { // 否则说明换，输出该扇门后的东西，并给出相应提示System.out.println("你选择换，第" + choose + "道门后是" + door[(choose - 1)]);if (door[(choose - 1)] == "羊") {System.out.println("恭喜你，选中了车");} else {System.out.println("很遗憾，你选中了羊");}}// 输出第几扇门后面是车，验证结果正确性for (int i = 0; i < door.length; i++) {// 如果第i+1扇门后是车，则输出结果并结束循环，否则继续遍历if (door[i] == "车") {System.out.println("第" + (i + 1) + "道门后是车");break;}}
}

选择不换门，基本上不会赢得汽车（1/100）。

注：并不是说换门的情况下，一定能赢得汽车，只是讲在不知道其他条件的情况下，换门的情况有较大几率赢得汽车。

参考资料

[1] Antineutrino 蒙提霍尔悖论（三门问题）终极分析 [J/OL] 蒙提霍尔悖论（三门问题）终极分析 - Antineutrino - 博客园

[2] 田晨景胡雄等.再谈“羊车门”问题 [J] .教育教学论坛, 2016,(42)

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