Strange Fractions[2021 ICPC 上海站 D]&U207965 Strange Fractions 增强版
参考（全题解）
题目链接中，增强版 T 增加到了 1e6，并要求 a,b 互质，ban掉了第一种做法（赛版不要求 a,b 互质）；

题目大意

给定一个正分数 pq\frac pqqp，我们需要找到两个正整数 a,ba,ba,b 满足 pq=ab+ba\frac pq=\frac ab+\frac baqp=ba+ab ，如果不存在，则输出 0,00,00,0 ；
（ 1≤T≤105,1≤p,q≤1071≤T≤10^5,1≤p,q≤10^71≤T≤105,1≤p,q≤107 ，要求 1≤a,b≤1091≤a,b≤10^91≤a,b≤109 ）

试差

思路

在 p,q 化为最简后，等价于寻找 a,b 满足 a2+b2ab=pq\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac pqaba2+b2=qp ，我们只需要预处理出所有小于 1e7 的平方数，依次匹配~
时间复杂度 O(Tp)O(T\sqrt p)O(Tp) ；

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int twi[10004];
int tti[10000007];
int main()
{int t,p,q;for(int i=1;i*i<=10000000;i++){twi[i]=i*i;tti[i*i]=i;}cin>>t;while(t--){scanf("%d%d",&p,&q);if (p < 2 * q) {printf("0 0\n");continue;}int g=__gcd(p,q);p/=g,q/=g;int f=0;for(int i=1;twi[i]<=p&&!f;i++){int lst=tti[p-twi[i]];if(lst&&i*lst==q){printf("%d %d\n",min(i,lst),max(i,lst));f=1;}}if(!f)printf("0 0\n");}
}

二进制枚举

思路

我们可以证明 a,b 互质时 gcd(a2+b2,ab)=1gcd(a^2+b^2,ab)=1gcd(a2+b2,ab)=1 成立， pq\frac pqqp化简后，我们便可以处理出 p 的所有互质因子对 a,b ，并验证与 q 的关系;
至于为什么要求是互质因子对，可以简化枚举过程和省略枚举后的约分，由于质因子最多8个（2⋅3⋅5⋅7⋯192\cdot3\cdot5\cdot 7\cdots192⋅3⋅5⋅7⋯19），所以时间复杂度 O(T28)O(T2^8)O(T28) ；

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e7;
int pri[N + 7], c = 0, mrk[N + 7];
bool n[N + 7];
void prime()
{n[0] = n[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i++){if (!n[i])pri[c++] = i, mrk[i] = i;for (int j = 0; j < c && i * pri[j] <= N; j++){n[i * pri[j]] = 1;mrk[pri[j] * i] = pri[j];if (i % pri[j] == 0){mrk[pri[j] * i] *= mrk[i];break;}}}
}
int v[10];
void solve()
{int tot = 0, f = 0, a, b, p, q;scanf("%d%d", &p, &q);if (p < 2 * q){printf("0 0\n");return;}int g = __gcd(p, q);p /= g, q /= g;tot = 0, f = 0;while (q != 1){v[tot++] = mrk[q];q /= mrk[q];}for (int i = 0; i < (1 << tot); i++){a = 1, b = 1;for (int j = 0; j < tot; j++){if ((i >> j) & 1)a *= v[j];elseb *= v[j];}if (a * a + b * b == p){printf("%d %d\n", min(a, b), max(a, b));return;}}printf("0 0\n");return;
}
int main()
{int t;prime();cin >> t;while (t--){solve();}
}

求根公式

思路

不妨设 ab=x\frac ab=xba=x ，那么有 pq=x+1x\frac pq=x+\frac1xqp=x+x1 ，问题转化为求 qx2−px+q=0qx^2-px+q=0qx2−px+q=0 的有理根；
由于求根公式 x=p+p2−4q22qx=\frac{p+\sqrt{p^2-4q^2}}{2q}x=2qp+p2−4q2 ，在判断根式有理后，即可获得分子分母；
时间复杂度 O(Tlog⁡p)O(T\log p)O(Tlogp) ；

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{ll t,p,q;cin>>t;while(t--){scanf("%lld%lld",&p,&q);if (p < 2 * q) {printf("0 0\n");continue;}ll g=__gcd(p,q);p/=g,q/=g;ll s=(ll)sqrt(p*p-4*q*q);if(s>=0&&s*s==p*p-4*q*q){ll fz=p+s,fm=2*q;ll gtmp=__gcd(fz,fm);fz/=gtmp,fm/=gtmp;printf("%lld %lld\n",min(fz,fm),max(fz,fm));}else printf("0 0\n");}
}

ED

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Strange Fractions（奇怪的分数）-数论

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