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什么是PCR？（PCR = PCA + MLR）（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

• PCR是处理许多 x 变量的回归技术
• 给定 Y 和 X 数据：
• 在 X 矩阵上进行 PCA
– 定义新变量：主成分（分数）
• 在 多元线性_回归_(_MLR_)  中使用这些新变量中的一些来建模/预测 Y
• Y 可能是单变量或多变量。

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例子

# 对数据
set.seed(123)da1 <- marix(c(x1, x2, x3, x4, y), ncol = 5, row = F)

多元线性回归和逐步剔除变量，手动：

# 对于data1：（正确的顺序将根据模拟情况而改变）。
lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4)lm(y ~ x2 + x3 + x4)lm(y ~ x2 + x3)lm(y ~ x3)

配对关系图

pais(atix, ncol = 5, byrow = F

如果对data2重复以上过程：

# 对于data2:lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4)lm(y ~ x1 + x2 + x4)lm(y ~ x2 + x4)lm(y ~ x2)

数据集 2 的绘图：

使用四个 x 的均值作为单个变量来分析两个数据集：

xn1 <- (dt1\[,1\] + a1\[,2\] + at1\[,3\] + dt1\[,4\])/4lm(data1\[,5\] ~ xn1)lm(data2\[,5\] ~ xn2)

检查一下X数据的PCA的载荷loading是什么。

# 几乎所有的方差都在第一主成分解释。
prnmp(dt1\[,1:4\])

# 第一个成分的载荷
picp(dta1\[,1:4\])$lads\[,1\]

它们几乎相同，以至于第一个主成分本质上是四个变量的平均值。让我们保存一些预测的 beta 系数 - 一组来自数据 1 的完整集和一组来自均值分析的：

c1 <- smry(lm(dta1\[,5\] ~ dta1\[,1\] + dta1\[,2\] + ata1\[,3\] +
dt1\[,4\]))$coficns\[,1\]
f <- summry(rm2)$cefets\[,1\]

我们现在模拟三种方法（完整模型、均值（=PCR）和单个变量）在 7000 次预测中的表现：

# 对预测进行模拟。
误差<- 0.2xn <- (x1 + x2 + x3 + x4)/4
yt2 <- cf\[1\] + cf\[2\] * xn
yht3 <- cf\[1\] + cf\[2\] * x3
bro(c(um((y-hat)^2)/7000 min = "平均预测误差平方")

PCR 分析误差最小。

示例：光谱类型数据

构建一些人工光谱数据：（7 个观测值，100 个波长）

# 光谱数据实例mapot(t(spcra) )
mtlnes(t(spcra))

平均光谱表明：

mtpot(t(secra))
malies(t(spcta))
mnp <- apply(spcra, 2, mean)
lines(1:100, mnp, lwd = 2)

平均中心光谱：

spcamc<-scae(spcta,scale=F)
plot(t(spermc),tpe="")

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偏最小二乘回归（PLSR）和主成分回归（PCR）

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标准化光谱：

sptracs<-scale(spetra,scale=T,center=T)
matott(specrams),tye="n",
matlies(t(sectramcs))

# 用特征函数对相关矩阵做PCA。
pcaes <- eien(cor(spra))
ladigs <- pces$vectors\[,1\].
score <- peramcs%*%t(t(lodis1))
pred <- soes1 %*% loadings1
## 1-PCA预测值转换为原始尺度和平均值。
mtrx(repeasp, 7), nro=7, brw=T)

在单个概览图中收集的所有图：

par(mfrow = c(3, 3)
matlot(t(sectr)

PCR是什么？

• 数据情况：

• 用A 主成分t1、t2... 做MLR而不是所有（或部分）x。
• 多少个成分：通过交叉验证确定。

怎么做？

1. 探索数据
2. 进行建模（选择主成分数量，考虑变量选择）
3. 验证（残差、异常值、影响等）
4. 迭代 2. 和 3。
5. 解释、总结、报告。
6. 如果相关：预测未来值。

交叉验证

• 忽略一部分观察值
• 在剩余（减少的）数据上拟合模型
• 预测模型遗漏的观察值：yˆi,val
• 对所有观察值依次执行此操作并计算总体模型性能：

（预测的均方根误差）

最后：对所有选择的分量（0、1、2、...、... ）进行交叉验证并绘制模型性能

barplot(names.arg)

选择最佳成分数：
• 总体误差最小的主成分。

重采样

• 交叉验证 (CV)

•留一法(_Leave-On_e-_Out_,简称LOO)

• Bootstrapping
• 一个很好的通用方法：
– 将数据分成训练集和测试集。
– 在训练数据上使用交叉验证
– 检查测试集上的模型性能
– 可能：重复所有这些多次（重复双交叉验证）

交叉验证 - 原则

• 最小化预期预测误差：
平方预测误差 = Bias2 +方差
• 包括“许多”PC主成分：低偏差，但高方差
• 包括“很少”PC 主成分：高偏差，但低方差
• 选择最佳折衷！

验证 - 存在于不同的级别

1. 分为 3 个：训练（50%）、验证（25%）和测试（25%）
2. 拆分为 2：校准/训练 (67%) 和测试 (33%) 
训练中，CV/bootstrap •更常用
3. 没有 "固定分割"，而是通过CV/bootstrap反复分割，然后在每个训练组内进行CV。
4. 没有分割，但使用（一级）CV/bootstrap。
5. 只对所有数据进行拟合--并检查误差。

示例：汽车数据

# 例子：使用汽车数据。
# 将X矩阵定义为数据框中的一个矩阵。
mtas$X <- as.ix(mcas\[, 2:11\])
# 首先，我们考虑随机选择4个属性作为测试集
mtcrs_EST<- mtcrs\[tcars$rai == FASE,\] 。
tcaTRAIN <- mtars\[tcarstrai == TUE,\] 。

现在所有的工作都在 训练数据集上进行。

探索数据

我们之前已经这样做了，所以这里不再赘述

数据建模

使用pls软件包以最大/大量的主成分运行PCR。

# 使用pls软件包，以最大/较大的成分数运行PCR。pls(lomg ~ X , ncop = 10, dta = marsTRAN,
aliaon="LOO")

初始图集：

# 初始化的绘图集。
par(mfrow = c(2, 2)
plot(mod)

主成分的选择：

# 主成分的选择。
# 分段的CV会得到什么。
modseCV <- pcr(lomg ~ X , ncp = 10, dta = marTIN
vai ="CV"
)
# 初始图集。
par(mfrow = c(1, 2))
plot(odsC, "vadaion")

让我们看看更多的主成分：

# 让我们看看更多的主成分。
# 分数。
scre(mod)

#负荷
loading(md,cms = 1:4)

我们选择 3 个主成分：

# 我们选择4个成分
m <-  ncmp = 3, data = mrs_TAI vdon = "LOO", akknie = RUE

然后：验证：
让我们验证更多：使用 3 个主成分。我们从中获取预测的残差，因此这些是（CV）验证版本！

oit <- ppo(mod3, whih = "litin")
plot(obft\[,2\], Rsds)
# 为了绘制残差与X-杠杆的对比，我们需要找到X-杠杆。
# 然后找到杠杆值作为Hat矩阵的对角线。
# 基于拟合的X值。
Xf <- sors(md3)
plot(lvge, abs(Rsidals))
text(leage, abs(Reuls))

# 让我们也绘制一下残差与每个输入X的关系。for ( i in 2:11){
plot(res~masAN\[,i\],type="n")
}

解释/结论

现在让我们看一下结果——“解释/结论”：

# 现在我们来看看结果 - 4) "解释/结论"
par(mfrw = c(2, 2))
# 绘制具有Jacknife不确定性的系数。
obfi <- red(mod3,, wich = "vltn)
abe(lm(ft\[,2\] ~ fit\[,1\])
plt(mo3, ses = TUE,)

# 最后是一些输出
test(mo3, nm = 3)

预测

# 现在让我们试着预测TEST集的4个数据点。
prdit(md3, nwaa =TEST)
plt(TEST$lgg, pes)

rmsep <- sqrt(men(log - prd)^2))
rmsep

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本文选自《R语言主成分回归（PCR）、 多元线性回归特征降维分析光谱数据和汽车油耗、性能数据》。

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