系统辨识与自适应控制
目录
1 绪论
1.1 自适应问题的提出
1.2 自适应控制的种类
1.2.1 模型参考自适应控制系统（MRAC）
1.2.2 自校正控制系统（STC）
1.2.3 智能自适应控制系统
1.2.4 其他形式的自适应控制系统
2 系统辨识
2.1 系统辨识的定义及其分类
2.2 参数模型
2.3 最小二乘参数估计法
2.3.1 批处理最小二乘法
2.3.2 递推最小二乘法（RLS）
2.3.3 遗忘因子递推最小二乘法（FFRLS）
2.3.4 递推增广最小二乘法(RELS)
3 模型参考自适应控制(MRAC)
3.1 基于梯度法的模型参考自适应控制
3.2 基于Lyapunov稳定性理论的模型参考自适应控制
3.2.1 可调增益Lyapunov-MRAC
3.2.2 系统状态变量可测时的MRAC
3.2.3 Narendra稳定自适应控制器
4 自校正控制(STC)
4.1 最小方差自校正控制
4.1.1 最小方差控制（MVC）
4.1.2 最小方差间接自校正控制
4.1.3 最小方差直接自校正控制
4.2 广义最小方差自校正控制
4.3 广义预测控制（GPC）
4.3.1 预测控制的提出
4.3.2 预测控制的基本机理
4.3.3 广义预测控制
4.4 改进的广义预测控制
参考书籍：庞中华、崔红《系统辨识与自适应控制MATLAB仿真(第三版)》。
本文章主要根据庞中华版《系统辨识与自适应控制MATLAB仿真(第三版)》进行简单总结，具体的内容描述、数学模型、相关公式的证明以及MATLAB仿真程序请参考书本内容，本文内容如有错误的地方那一定是我的原因，欢迎批评指正。
1 绪论
1.1 自适应问题的提出
（1）被控对象的精确数学模型无法建立；
（2）即使能够为被控对象建立结构简单且精确的数学模型，但其特性在运行过程中也会发生变化；
（3）被控对象还受到环境条件的影响等。
与传统的调节原理和最优控制不同，自适应控制能够在被控对象的模型知识与环境知识知之不全甚至知之甚少的情况下，使系统能够自动地工作于最优或接近于最优的运行状态，获得高品质的控制性能。
1.2 自适应控制的种类
自适应控制是通过改变控制系统的行为以适应被控对象动态特性和环境条件变化的控制策略。
种类有模型参考自适应控制系统、自校正控制系统、自寻最优控制系统、变结构控制系统和智能自适应控制系统等。从理论研究成果和实际应用情况来看，应当首推模型参考自适应控制系统、自校正控制系统和智能自适应控制系统。
1.2.1 模型参考自适应控制系统（MRAC）
基本工作原理：根据被控对象结构和具体控制性能要求，设计参考模型，使其输出表达可调系统对参考输入r的期望响应；然后在每个控制周期内，将参考模型输出
与被控对象输出y直接相减，得到广义误差信号
,自适应机构根据一定的准则，利用广义误差信号来修改可调控制器参数，即产生一个自适应控制律，使e趋向于0，也就是使对象实际输出向参考模型输出靠近，最终达到完全一致。
设计方法：
（1）局部参数最优化设计方法；
（2）基于Lyapunov稳定性理论的设计方法；
（3）基于Popov超稳定理论的设计方法。
1.2.2 自校正控制系统（STC）
基本工作原理：首先由递推估计器在线估计被控对象参数，用以代替对象的未知参数，然后由设计机构按一定的规则对可调控制器的参数进行在线调整。
自校正控制器是在线参数估计和控制参数在线设计两者的有机结合，所以使得自校正控制方案非常灵活。有间接自校正控制系统和直接自校正控制系统。
1.2.3 智能自适应控制系统
将专家控制、模糊控制、神经网络控制、遗传算法及上述多种方法的集合等引入自适应控制中，则形成了多种智能自适应控制，如专家自适应控制、模糊自适应控制、神经网络自适应控制、模糊神经网络自适应控制等。
1.2.4 其他形式的自适应控制系统
如变结构自适应控制、非线性自适应控制、无模型自适应控制、鲁棒自适应控制、自适应逆控制、简单自适应控制（SAC）、监督自适应控制等。
2 系统辨识
2.1 系统辨识的定义及其分类
L.A.Zadeh于1962年曾对系统辨识给出定义：系统辨识是在输入与输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。
分类：非参数模型辨识方法；参数模型辨识方法（最小二乘法；梯度校正法；极大似然法）。
2.2 参数模型
根据研究方法分：输入\输出模型和状态空间模型；
根据时间是否连续分：连续时间系统参数模型和离散时间系统参数模型。
对于离散系统，常采用差分方程来描述。差分方程参数模型根据模型中是否含有随机扰动，又可分为确定性模型和随机模型。
随机模型中根据各元素取值情况的不同，分为AR、MA、ARMA、CAR与ARX、CARMA与ARMAX，以及CARIMA模型。
2.3 最小二乘参数估计法
最小二乘法（least square，LS）大约是1795年高斯在其著名的星体运动轨迹预报研究工作中提出的。后来，LS成了估计理论的奠基石。LS由于原理简明、收敛较快、易于理解、易于编程实现等特点，在系统参数估计中应用相当广泛。
2.3.1 批处理最小二乘法
特性：无偏性；估计误差的协方差；最小协方差估计；一致收敛性。
缺点：在具体应用批处理最小二乘法时，由于每次处理的数据量较大，不仅占用内存大，而且不能用于参数在线实时估计。
2.3.2 递推最小二乘法（RLS）
在自适应控制系统中，被控对象通常都可以不断提供新的输入/输出数据，而且还希望利用这些新的信息来改善估计精度，因此，常常要求对象参数能够在线实时估计。解决这个问题的方法是将批处理最小二乘法转化为递推算法。
2.3.3 遗忘因子递推最小二乘法（FFRLS）
RLS比较适用于定常未知参数系统，但在一般自适应控制问题中，有意义的是考虑参数时变系统。参数时变可分为两种情况：参数突变但不频繁；参数缓慢变化。
RLS的局限性：随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象，即随着k的增加，P(k)和K(k)变得越来越小，从而对(k)的修正能力变得越来越弱，使得新采集的输入/输出数据对参数估计值
(k)的更新作用不大。这样将导致当系统参数变化时，RLS算法将无法跟踪这种变化，从而使实时参数估计失败。
为克服RLS算法的局限性，可以采用带遗忘因子的递推最小二乘法(FFRLS)。
2.3.4 递推增广最小二乘法(RELS)
3 模型参考自适应控制(MRAC)
MRAC最初是针对确定性连续时间系统的伺服控制问题提出来的，后来其概念和理论逐渐扩展到离散时间系统和具有随机扰动的系统。
3.1 基于梯度法的模型参考自适应控制
在MRAC的设计方法中，梯度法是一种基本方法，由于该方法最简单，所以应用也最广泛。其中一种最早用梯度法设计而且后来被大量使用的控制律是MIT自适应控制律，因其首先在美国麻省理工学院（MIT）的测量设备实验室产生而得名。
需要指出的是：在可调增益MIT-MRAC中，自适应增益的选择与参考输入信号的幅值相关，即同一自适应增益的MRAC系统，对于某一幅值输入信号稳定，而对于另一幅值输入信号则可能变得不稳定。
为了克服MIT自适应律的上述缺陷，引入MIT归一化算法对其进行修正，使得自适应增益与输入信号幅值无关。
3.2 基于Lyapunov稳定性理论的模型参考自适应控制
为了克服3.1节采用局部参数最优化方法设计的MRAC无法保证稳定的缺陷，德国学者帕克斯（P.C. Parks）于1966年提出了采用Lyapunov第二法推到的MRAC自适应控制律，以保证系统具有全局渐进稳定性。从而，MRAC设计进入了采用稳定性理论设计准则的阶段，同时给自适应控制技术带来了新的生机，使其得以迅速发展和应用。
3.2.1 可调增益Lyapunov-MRAC
该自适应控制方案与梯度法设计的可调增益MIT-MRAC类似，都是通过调节可调系统的增益来实现系统实际输出与参考模型输出的误差趋向于0。但不同的是，用本方法设计的系统可保证闭环系统的稳定性。
3.2.2 系统状态变量可测时的MRAC
控制系统可用状态方程或传递函数来描述。当控制系统采用状态方程描述，且状态完全可观测时，可用系统的状态变量来构成自适应控制律；当控制系统用传递函数描述时，可用系统的输入变量和输出变量来构成自适应控制律。
3.2.3 Narendra稳定自适应控制器
在3.2.2节中介绍的自适应控制律要求状态变量全部可测，这种要求在实际系统中很难满足，因此，其应用受到很大限制。为克服上述困难，已提出两种解决方法：间接法和直接法。
在间接法中，需要设计一个自适应观测器，利用系统的输入和输出数据实时地估计对象的不可测状态，再由这些状态估计值实现自适应律。
在直接法中，则不必估计对象的状态，而是直接利用输入/输出数据构造自适应律，可见直接法有明显的优势。
4 自校正控制(STC)
自校正控制是不同于模型参考自适应控制的另一类自适应控制，也是应用最广泛的一类自适应控制方法。它的基本思想是：将参数估计递推算法与不同类型的控制算法结合起来，形成一个能自动校正控制器参数的实时计算机控制系统。
4.1 最小方差自校正控制
最小方差自校正调节器（MVSTR）属于直接自校正控制，针对参数定常但未知的SISO离散时间系统，以最小输出方差且目标设计自校正控制律，用递推最小二乘算法直接估计控制器参数，是一种最简单的自校正控制器。
最小方差（MVC）具有算法简单、易于理解、易于实现等优点，是其他自校正控制算法的基础。其基本思想是：由于一般工业对象存在纯延时d，当前的控制作用要滞后d个采样周期才能影响输出。因此，要使输出方差最小，就必须提前d步对输出量作出预测，然后根据所得的预测值来设计所需的控制律。这样，通过连续不断的预测和控制，就能保证稳态输出方差最小。由此可见，实现最小方差控制的关键在于输出预测。
4.1.1 最小方差控制（MVC）
最小方差控制的实质是用控制器的极点去对消被控对象的零点。
最小方差控制的缺陷：
（1）采用最小方差控制时，要求对象必须是最小相位系统（主要缺陷）；
（2）最小方差控制对靠近单位圆的稳定零点非常敏感；
（3）最小方差控制的控制作用没有约束。当干扰方差比较大时，由于最小方差控制需要一步完成校正，所以控制量的方差也比较大，这将会加速执行结构的磨损；而且有些对象也不希望或不允许调节过程过于剧烈。
4.1.2 最小方差间接自校正控制
当被控对象的参数未知时，可首先利用递推增广最小二乘法在线实时估计对象参数，然后再设计最小方差控制律，即将对象参数估计器和控制器的设计分开进行，就形成了最小方差自校正控制间接算法。该算法简单易懂，但计算量较大。
4.1.3 最小方差直接自校正控制
当被控对象的参数未知时，也可以利用递推算法直接估计最小方差控制器的参数，即最小方差自校正控制直接算法。该算法计算量小，但估计参数的物理意义不明确。
4.2 广义最小方差自校正控制
为了克服最小方差控制的一些固有缺陷，特别是其不适用于非最小相位系统且输入控制量未受约束的情况，D.W.Clarke和P.J.Gawthrop于1975年提出了广义最小方差控制算法（GMVC）。
其基本思想为：在求解控制律的性能指标中，引入对控制量的加权项，从而限制控制作用过于剧烈变化；另外，只要适当选择性能指标中的各加权多项式，广义最小方差控制可以适用于非最小相位。
该算法仍采用单步预测模型，保留了最小方差控制算法简单易懂的优点。
当被控对象的参数未知时，可采用自校正控制算法。与最小方差自校正控制算法类似，广义最小方差自校正控制也分为间接算法和直接算法。
4.3 广义预测控制（GPC）
与最小方差控制相比，广义最小方差控制在性能上有所改善，能够实现对非最小相位系统的控制，并对控制作用有一定的约束；但在实际工程应用中，如何选择适当的加权多项式，仍有一定的困难。要解决非最小相位系统和复杂工业对象的自适应控制问题，还需要研究更先进的控制算法。
20世纪70年代末和20世纪80年代初、中期，出现了基于多步预测和滚动优化的模型预测控制（MPC），它为更好地解决复杂工业对象的自适应控制问题提供了新的方向。
4.3.1 预测控制的提出
从工程应用的角度，人们希望对象的模型尽量简化，系统在不确定性因素的影响下能保持良好的性能（鲁棒性），且要求控制算法简单，易于实现，以满足实时控制的需要。实践的需要向控制理论提出了新的挑战，促使人们寻找对模型要求低，控制质量好、在线实现简便的控制算法；同时，计算机技术的飞速发展为各种新的控制算法的研究提供了强大的物质基础，预测控制就是在这种背景下产生的。
1978年，法国的J.Richalet等人在系统脉冲响应的基础上，提出了模型预测启发控制（MPHC），并介绍了其在工业过程控制中的应用效果；1982年，R.Rouhani等提出了基于脉冲响应的模型算法控制（MAC）；1974年，动态矩阵控制（DMC）被应用于美国壳牌石油公司的生产装置上，并于1980年由C.R.Culter等在美国化工年会上公开发表，它是建立在阶跃响应模型上的一种预测控制。这些预测控制算法以对象的有限脉冲响应或有限阶跃响应为模型，在每一个控制周期内采用滚动推移的方式在线对过程进行有限时域内的优化控制（即滚动优化），它对过程的模型要求低，算法简单，易于实现，同时在优化过程中不断利用测量信息进行反馈校正，在一定程度上克服了不确定性的影响，在复杂的工业过程中显现出良好的控制性能。
4.3.2 预测控制的基本机理
预测控制属于一种基于模型的控制算法，所以也称为模型预测控制。各类预测控制算法的共性可概括为三点：预测模型、滚动优化和反馈校正。
4.3.3 广义预测控制
广义预测控制是D.W.Clarke等人于1987年提出的一种重要的自适应控制算法，在保持最小方差自校正控制的在线辨识、输出预测、最小输出方差控制的基础上，吸取了DMC和MAC中的滚动优化策略，兼具自适应控制和预测控制的性能。GPC基于参数模型，引入了不相等的预测长度和控制长度，系统设计灵活方便，具有预测模型、滚动优化和在线反馈校正等特征，呈现出优良的控制性能和鲁棒性。
4.4 改进的广义预测控制
GPC算法虽具有优良的控制性能，但也有其固有缺陷，如计算量较大、算法过于复杂等，且在实践应用中还受到稳定的限制。
1990年，金元郁等基于CARIMA模型，采用新的途径建立预测模型，进而提出了一种改进的广义预测控制算法。这种算法不受稳定的限制，且算法简单，计算量较小，保留了GPC的基本特征和优点。另外，在算法中考虑了被控对象的纯延时，如无系统纯延时的先验信息，可令改进算法中d=1，此时具有与D.W.Clarke的GPC算法相同的控制策略。
1992年，金元郁提出了一种基于CARMA模型的新型广义预测控制算法。
关于极点配置自校正控制、自校正PID控制、神经网络辨识与控制、模糊控制与模糊神经网络辨识等内容会在下一篇文章中总结。
参考书籍：庞中华、崔红《系统辨识与自适应控制MATLAB仿真(第三版)》。
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