【POJ 1733】Parity game【带权并查集维护奇偶】

题意：

一个长度为 NNN 的由 000 和 111 组成的序列 SSS。MMM 个询问，返回 [l,r][l,r][l,r] 中 111 的个数是奇数还是偶数。输出一个最小的 kkk，使得存在一个 010101 序列满足第 1k−11~k-11 k−1 个回答，但不存在满足第 1k1~k1 k 个回答的 010101 序列。
(N≤109,M≤10000)(N\leq 10^9,M\leq 10000)(N≤109,M≤10000)

思路：

NNN 比较大，但是询问比较少，因此需要将所有数字离散化。

然后我们需要处理区间 [l,r][l,r][l,r] 的 111 的个数是偶数还是奇数。因此我们来定义一下 x→rootx\rightarrow rootx→root，d[x]d[x]d[x] 表示 sum[root]−sum[x]sum[root]-sum[x]sum[root]−sum[x] 的值为奇数还是偶数，即 [x+1,root][x+1,root][x+1,root] 中 111 的个数为奇数还是偶数。如果维护的是 [x,root][x,root][x,root] 的信息，那么 d[x]d[x]d[x] 初始值就不确定了，因此维护的是 [x+1,root][x+1,root][x+1,root]，d[x]d[x]d[x] 初始为 000 。

所以 x→rootx\rightarrow rootx→root 为 000，表示 [x+1,root][x+1,root][x+1,root] 中 111 的个数为偶数。如果为 111，则表示 111 的个数为奇数。在合并时维护一个模 222 剩余系。

比如 [x,y][x,y][x,y] 中 111 的个数为偶数，则 (x−1)→y(x-1)\rightarrow y(x−1)→y 为 000，fa[fx]=fy，d[fx]=(x→y)−(x→fx)−(fy→y)=(0−d[x]+d[y]+2)mod2fa[fx] = fy，d[fx] = (x\rightarrow y)-(x\rightarrow fx)-(fy\rightarrow y)=(0-d[x]+d[y]+2)\ mod\ 2fa[fx]=fy，d[fx]=(x→y)−(x→fx)−(fy→y)=(0−d[x]+d[y]+2) mod 2。

查询 [x,y][x,y][x,y] 中 111 个数奇偶，直接 (d[x]−d[y]+2)mod2(d[x]-d[y]+2)\ mod \ 2(d[x]−d[y]+2) mod 2，为 000 则为偶，否则为奇。

至此即可完成本题。

ps：本题也可以维护并查集路径上节点的异或和，000 表示为偶，111 表示为奇。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;
const int N = 2*1e4+100;int n,m,fa[N],d[N],a[N],tot;
struct Query{int x,y,op;
}q[N];int find(int x){if(x == fa[x]) return x;int root = find(fa[x]);d[x] = (d[x]+d[fa[x]]+2)%2;return fa[x] = root;
}int search_for(int x){return lower_bound(a+1,a+1+tot,x)-a;
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m); tot = 0;rep(i,1,m){scanf("%d%d",&q[i].x,&q[i].y);char oop[10]; scanf("%s",oop);if(oop[0] == 'e') q[i].op = 1; //偶数else q[i].op = 0; //奇数a[++tot] = q[i].x-1, a[++tot] = q[i].y;}sort(a+1,a+1+tot);tot = unique(a+1,a+1+tot)-a-1;rep(i,0,tot) fa[i] = i, d[i] = 0;int ans = m;rep(i,1,m){int xx = search_for(q[i].x-1), yy = search_for(q[i].y), cc = q[i].op;int fx = find(xx), fy = find(yy);if(cc){   //偶数if(fx != fy){fa[fx] = fy;d[fx] = (d[yy]-d[xx]+2)%2;}else{int jud = (d[xx]-d[yy]+2)%2;if(jud == 1){ans = i-1;break;}}}else {    //奇数if(fx != fy){fa[fx] = fy;d[fx] = (d[yy]-d[xx]+2+1)%2;}else{int jud = (d[xx]-d[yy]+2)%2;if(jud == 0){ans = i-1;break;}}}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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