蓝桥杯省赛 2021 杨辉三角形 python

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4,·······

给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数？

输入描述

输入一个整数 N。

输出描述

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

示例 1

输入
6
输出
13

上图并不是我们喜欢的杨辉三角形式，让我们再进行一步转换：

	第 0列	第 1 列	第 2 列	第 3 列	第 4 列	第 5列
第 0 行	1
第 1 行	1	1
第 2 行	1	2	1
第 3 行	1	3	3	1
第 4行	1	4	6	4	1
第 5 行	1	5	10	10	5	1

我们知道杨辉三角的第 i行第 j列的值为 $C^{j}_{i}$

用黄色印记标记的数字为我们需要考虑的部分（图一的左侧部分），我们称其为有效部分。

那么不难发现，对于每一列（比如第 i列），它们的有效部分都是从 $C^{i}_{2i}$ 始的。

而显然，对于同一行，列数越大则对应的数值也越大；对于同一列来说行数越大则数值也越大。也就是说如果某一行的某一列的值为 X，那么在列数不变的情况下，无论行数怎么变大都不会再出现比 X小的数了；同理在行数不变的情况下列数怎么变大也不会再出现比 X小的数了。

于是我们可得，当 $n \leq 10^9$ 时，有效列数为第 0∼16 列（因为第 17列的有效部分是开始的，所以该列无论如何都不可能出现 n了，其它的列就就更不可能了）。

import sys
n=int(input())
def C(a,b):res=1i=aj=1while j<=b:res=int(res*i/j)i-=1j+=1return res
#计算出C(32,16)=601080390,C(34,17)=2333606220
#用二分法从后往前搜索
for k in range(16, -1, -1):l = 2 * kr = max(n, l)res = int(-1)while l <= r:mid = l + r >> 1if C(mid, k) > n:r = mid - 1if C(mid,k)<n:l = mid + 1if C(mid,k)==n:res=midprint((res + 1) * res // 2 + k + 1)sys.exit()

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