平稳时间序列的相关概念

（一）两种不同的平稳性定义
1.严平稳过程
若对于时间ttt的任意nnn个值t1<t2<⋯<tnt_1<t_2<\cdots<t_nt1<t2<⋯<tn，序列中的随机变量Xt1+s,Xt2+s,...,Xtn+sX_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s}Xt1+s,Xt2+s,...,Xtn+s联合分布与整数sss无关，即有：
Ft1,t2,...tn(Xt1,Xt2,...,Xtn)=Ft1+s,t2+s,...,tn+s(Xt1+s,Xt2+s,...,Xtn+s)F_{t_1,t_2,...t_n}(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n})=F_{{t_1+s},{t_2+s},...,{t_n+s}}({X_{t_1+s},X_{t_2+s},...,X_{t_n+s}}) Ft1,t2,...tn(Xt1,Xt2,...,Xtn)=Ft1+s,t2+s,...,tn+s(Xt1+s,Xt2+s,...,Xtn+s)

则称{Xt}\{X_t\}{Xt}为严平稳/狭义平稳/强平稳过程。
严平稳的概率分布与时间无关。
2.宽平稳过程
如时间序列有有穷的二阶矩，且{Xt}\{X_t\}{Xt}满足一下两个条件：
(1)μt=E(Xt)=c(2)γ(t,s)=E(Xt−c)(Xs−c)=γ(t−s,0)\begin{array}{lcl} (1)\mu_t=E(X_t)=c\\ (2)\gamma(t,s)=E(X_t-c)(X_s-c)=\gamma(t-s,0) \end{array} (1)μt=E(Xt)=c(2)γ(t,s)=E(Xt−c)(Xs−c)=γ(t−s,0)

则称该时间序列为宽平稳过程。
宽平稳过程各随机变量的均值为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间间隔(t−s)(t-s)(t−s)有关。
3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别
区别:
(1)严平稳的概率分布随时间的平移而不变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而不变。
(2)一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列;一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。
联系:
(1)若一个序列为严平稳序列，且有有穷的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。
(2)若时间序列为正态序列(即它的任何有限维分布都是正态分布)，那么该序列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。

（二）时间序列的分布、均值和协方差函数
1.时间序列的概率分布
由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机变量的主要特征。
2.均值函数
一个时间序列{Xt,t=0,t=±1,t=±2,....,}\{X_t,t=0,t=\pm1,t=\pm2,....,\}{Xt,t=0,t=±1,t=±2,....,}的均值函数指：
μt=E(Xt)=∫−aaXd(Ft(Xt))\mu_t=E(X_t)=\int_{-a}^{a} X\, d(F_t(X_t)) μt=E(Xt)=∫−aaXd(Ft(Xt))

μt\mu_tμt即为{Xt}\{X_t\}{Xt}的均值函数，它实质上是一个实数列，均值表示随机过程在各个时刻的摆动中心。
3.自协方差函数
γ(t,s)=E(Xt−μt)(Xs−μs)=∫−aa∫−aa(x−μt)(y−μs)dFt,s(x,y)\gamma(t,s)=E(X_t-\mu_t)(X_s-\mu_s)=\int_{-a}^{a}\int_{-a}^{a} (x-\mu_t)(y-\mu_s)\, dF_{t,s}(x,y) γ(t,s)=E(Xt−μt)(Xs−μs)=∫−aa∫−aa(x−μt)(y−μs)dFt,s(x,y)

对称性:γ(t,s)=γ(s,t)\gamma(t,s)=\gamma(s,t)γ(t,s)=γ(s,t)
4.自相关函数
ρ(t,s)=γ(t,s)γ(t,t)γ(s,s)\rho(t,s)=\frac{\gamma(t,s)}{\sqrt{\gamma(t,t)\gamma(s,s)}} ρ(t,s)=γ(t,t)γ(s,s)γ(t,s)

自相关函数描述了时间序列的{Xt}\{X_t\}{Xt}自身的相关结构。
时间序列的自相关函数具有对称性，且有ρ(t,t)=1\rho(t,t)=1ρ(t,t)=1

（三）平稳序列的自协方差和自相关函数
1.平稳序列的自协方差函数和自相关函数
若{Xt}\{X_t\}{Xt}为平稳序列，假定EXt=0EX_t=0EXt=0，则我们可以用以下记号表示平稳序列的自协方差函数。
γk=E(Xt−EXt)(Xt−k−EXt−k)=EXtXt−k\gamma_k=E(X_t-EX_t)(X_{t-k}-EX_{t-k})=EX_tX_{t-k} γk=E(Xt−EXt)(Xt−k−EXt−k)=EXtXt−k

相应的，严平稳序列的自相关函数记为:
ρk=γkγ0\rho_k=\frac{\gamma_k}{\gamma_0} ρk=γ0γk

2.平稳序列的自协方差序列和自相关函数列的性质
(1)γk=γ−kρk=ρ−k(2)γk≤∣γ0∣∣ρk∣≤1\begin{array}{lcl} (1)\gamma_k=\gamma_{-k}\qquad \rho_k=\rho_{-k}\\ (2)\gamma_k≤|\gamma_0|\qquad |\rho_k|≤1 \end{array} (1)γk=γ−kρk=ρ−k(2)γk≤∣γ0∣∣ρk∣≤1

(四)白噪声序列和独立同分布序列
1.白噪声序列
定义：若时间序列{Xt}\{X_t\}{Xt}满足下列性质，
(1)EXt=0(2)EXtXs={σ2,t=s0,t≠s\begin{array}{lcl} (1)EX_t=0\\ (2)EX_tX_s=\begin{cases}\sigma^2,t=s\\0,t≠s\end{cases} \end{array} (1)EXt=0(2)EXtXs={σ2,t=s0,t=s

则称此序列为白噪声序列。
白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列。
2.独立同分布序列
定义：如果时间序列{Xt}\{X_t\}{Xt}中的随机变量Xt,t=0,±1,±2,...X_t,t=0,\pm1,\pm2,...Xt,t=0,±1,±2,...是相互独立的随机变量，且XtX_tXt具有相同的分布（当XtX_tXt有一阶矩时，往往还假定EXt=0EX_t=0EXt=0），则称{Xt}\{X_t\}{Xt}为独立同分布序列。
独立同分布序列{Xt}\{X_t\}{Xt}是一个严平稳序列
一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列。
但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列。

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