一、理论部分

1、用图形的方法提供对非线性效应的直观理解（相平面分析&描述函数法）

相平面分析

19世纪数学家庞加莱等确定了一种称作相平面法的图形化方法，用图形来解二阶常微分方程，在线性系统中曾经介绍过轨线，而这种方法的核心就在于在二维平面上画出不同初始值的系统运动轨线，从而分析系统。

基本方法：解析法、图解法、实验法---应用相平面法分析非线性系统的前提就是要绘制相轨迹。

a.解析法

解析法就是用求解微分方程的方法找出 $\dot{\underset{x}{\rightarrow}}$ 和 $\underset{x(t)}{\rightarrow}$ 的关系，从而在相平面( $\underset{x(t)}{\rightarrow}$ 到 $\dot{\underset{x}{\rightarrow}}$ )能够绘制相轨迹。当描述系统运动的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，应用分析法比较方便。对于一维变量 $x(t)$ ，直接解方程 ${x}''(t)=f( x(t)),{x}'(t)))$ 求出 $x(t)$ 。若该式可以分解为 $\frac{\mathrm{g(x'(t))} }{\mathrm{d} x'(t)}=\frac{h(x(t)) }{\mathrm{d} x(t)}$ ，找到 $G(x'(t))=H(x(t))$

b. 等倾线法和写函数法

图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过各种逐步作图的方法，直接在相平面上画出相轨迹的方法。当微分方程用解析法求解比较复杂，困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。二阶时不变系统一般可用常微分方程描述: ${x}''(t)=f( x(t)),{x}'(t)))$ ，对于一维变量 $x(t)$ ，有

$x''(t)=\frac{\mathrm{d} x'(t))}{\mathrm{d} x(t)}\cdot \frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}={x}'\cdot {\frac{\mathrm{d}x'(t) }{\mathrm{d} x(t)}}$

当 ${x}'(t)$ 不为0时，有

$k=\frac{\mathrm{d} {x}'(t)}{\mathrm{d} x(t)}=\frac{f(x(t),{x}'(t))}{{x}'(t)}$

根据不同初始条件，它确定了不同的 ${x}'(t)\Leftrightarrow {x}(t)$ 平面的相轨迹，把相轨迹上具备有等斜率点的连线称为等倾线。等倾线方程.若在相平面里作出足够多的等倾线,并在每跟等倾线上用短线标明和相轨迹通过该线的方向(切线方向)称方向场.按方向场从起点到终点,则可绘出相轨迹。典型的相平面图如下：

稳定焦点

不稳定焦点

稳定节点

不稳定节点

鞍点

中心点

描述函数法

类似于经典控制理论的频率响应，非线性系统因为不能定义频率响应函数，但对于特殊并且常见的非线性系统，可以对频域方法进行扩展，即描述函数方法，它可以用来近似的分析和预测非线性特性，由于缺乏系统的非线性系统分析工具，使得它在实际工作当中不可缺少，在工程应用中描述函数方法，主要用来预测非线性系统的极限环。

使用条件：

(1)对结构图的要求：N(A)和1个线性部分G(s)串联。非线性系统的结构图可以简化成只有1个非线性环节N(A)和1个线性部分G(s)相串联的典型形式。

(2) 对N(A)的要求：N(A)奇对称,y1(t)幅值占优。非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即y(一x)=一y(x)，保证非线性特性在正弦信号作用下的输出不包含常值分量，而且y(t)中基波分量幅值占优。

(3)对G(s)的要求：线性部分具有较好的低通滤波性能。当非线性环节输入正弦信号时，输出中的高次谐波分量将被大大削弱，因此闭环通道内近似只有基波信号流通。线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好，用描述函数法所得的分析结果的准确性也越高。

常用的非线性环节如下：

分析方法：

(1)G(jw)曲线没有包围-1／N(A)曲线，则非线性系统稳定。

(2)G(jw)曲线包围-1／N(A)曲线，则非线性系统不稳定。

(3) -1／N(A)曲线与G(jw)曲线相交，非线性系统处于临界状态，则在非线性系统中产生周期性振荡，若沿着幅值增加的方向，是从稳定的区域进入不稳定的区域，则交点处为不稳定的周期运动；若沿着幅值增加的方向，是从不稳定的区域进入稳定的区域，则交点处为稳定的周期运动，即自振荡。交点处对应的频率就是振荡的频率，对应的幅值就是振荡的幅值。

2、基于Lyapunov理论的非线性系统稳定性分析

稳定性：

在活动区域Ω内，当李氏函数V(x，t)存在连续的一阶偏导数时，如果：
a、V(x，t)为正定。
b、V’(x，t)半负定。
则平衡点0是李氏稳定。

李氏一致稳定
在活动区域Ω内，当李氏函数V(x，t)存在连续的一阶偏导数时，如果：
a、V(x，t)为正定。且V(x，t)有无穷大上界（我理解就是普通意义上的无界，即V<∞）
b、V’(x，t)半负定。
则平衡点0是一致稳定

李氏一致渐进稳定
在活动区域Ω内，当李氏函数V(x，t)存在连续的一阶偏导数时，如果：
a、V(x，t)为正定。且V(x，t)有无穷大上界（我理解就是普通意义上的无界，即V<∞）
b、V’(x，t)负定。
则平衡点0是一致渐近稳定

4、李氏全局渐进稳定
在整个空间内，当李氏函数V(x，t)存在连续的一阶偏导数时，如果：
a、V(x，t)为正定。且V(x，t)有无穷大上界（我理解就是普通意义上的无界，即V<∞）
b、V’(x，t)负定。
c、V(x，t)径向无界。
则平衡点0是全局一致渐近稳定

Lyapunov第一法：

需要将非线性系统在平衡态附近近似线性化，然后讨论线性化系统的特征值分布来研究原非线性系统的稳定性问题。

$\dot{x(t)}=A(t)x(t)$

若矩阵A的特征根均为负实部，则系统就是大范围渐近稳定的。

Lyapunov第二法：

对于系统：

$\dot{x(t)}=Af(x(t))+Bu(t)$

Lyapunov定义了一个“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质，可以判断系统的稳定性。找到满足“李氏全局渐进稳定”的函数V(x，t)。（由于满足V(x，t)正定且V’(x，t)负定的函数很难找到，下面定义了宽松条件下的方法）

由拉塞尔不变集优化的Lyapunov第二法：

在寻找Lyapunov函数时，V(x，t)径向无界，非零解的状态运动轨迹上不恒为0，若此时V(x，t)正定且V’(x，t)负半定，则系统的平衡状态仍然是渐近稳定的！

Lyapunov不稳定性判据：

如果找到了有连续一阶偏导数的标量函数V(x，t)，满足V(x，t)正定，V(x，t)的导数也正定，那么系统平衡状态是不稳定的。

寻找Lyapunov函数的一些方法和技巧：

a、对于像滑模控制、轨迹跟踪、自适应控制、鲁棒性控制（高频、高增益）等等，构造以误差

为变量的函数。

b、能量函数

二、非线性控制器设计

1、反馈线性化

注：系统能建立出精确的状态方程，用反馈线性化是一种比较简单的控制器设计思路，相对于比较复杂的控制器更容易进行参数调节。通过反馈线性化后的非线性系统变成了一个简单的线性系统，此时通过数学方法分析和求解更为简单，更方便分析系统。

对于系统：

$x^{(n)}=f(x)+b(x)\cdot u$

若f(x)和b(x)均为非线性函数，显然当 $\\u=\frac{1}{b}\cdot (v-f)$ 其中 $\\b\neq 0$ 时，可以消去，非线性部分。

题外话：什么是线性化？线性化之后得系统性质是否还和原系统一致？

并不是所有的系统都能线性化，例如必须满足当泰勒展开

$\dot{x}=A(t)x+f_{h,o,t}(x)$

要求 $\lim_{||x||\to 0}sup||\frac{f_{h,o,t}(x)}{||x||}||=0,\forall t\geqslant 0$ ，才可以线性化展开成 $\dot{x}=A(t)x$ 。此时如果：

a、线性化后的系统一致渐近稳定则原系统在原点也一致渐近稳定。

b、当A为常矩阵时，线性化后的系统一不稳定则原系统在原点也不稳定。

注意：线性化和反馈线性化是完全不同的两个概念！

反馈线性化应用实例：某系统

$\dot{x}=Ax^{4}+B\cdot u$

不妨设 $\\u=B^{-1}\cdot (-kx-Ax^{4})$ ，使得 $\dot{x}=-kx$ ，设Lyapunov函数 $V=\frac{1}{2} x^{2}$ ，为正定（以下简称PD）， $\dot{V}=x\dot{x}=-kx^{2}<0$ ，显然反馈线性化之后系统在原点是稳定的，若A，B是常数，则 $x(t)=e^{-kt}$ 。显然，对于一些形式来说，控制输入有时候并不能直接消除非线性，或者等式右边根本就不含有控制输入这一项。

2、反步法

例如：a、弹簧小车模型控制器设计： $m\ddot{x}+ax^{3}+F=0$ ，要求控制F使得物块在光滑的地面上，沿着指定的轨迹 $x_{1d}$ 运动。

重新定义系统微分方程：

$\begin{matrix} { \dot{x_{1}}=x_{2}} & & \\ {\dot{x_{2}}=-\frac{a}{m}x^{3}}-\frac{u}{m} & & \end{matrix}$

第一步：定义误差e= $x_{1d}-x_{1}$ ,定义Lyapunov函数V= $\frac{1}{2}e^{2}$ 。显然V为PD。

第二步：对V求导， $\dot{V}=e\dot{e}=e(\dot{x}_{1d}-\dot{x})=e(\dot{x}_{1d}-{x}_{2})$ 。

第三步：令 $\dot{x}_{1d}-{x}_{2}=-k_{1}e$ ，使得 $\dot{V}=e(\dot{x}_{1d}-{x}_{2})=-k_{1}e^{2}<0$ ，因此对于速度 $x_{2}$ ，要求其跟踪速度 ${x}_{2d}=\dot{x}_{1d}-k_{1}e$ ，当 $\delta =x_{2d}-x_{2}\approx 0$ 时， $\dot{V}<0$ ，此时 $x_{2}={x}_{2d}=\dot{x}_{1d}-k_{1}e$ 。

第四步：同样，令 $W=\frac{1}{2}\delta ^{2}$ ，显然W为PD。 $\dot{W}=\delta \dot{\delta }=\delta (\dot{{x}_{2d}}-\dot{{x}_{2}})$ ，若要 $\dot{W}<0$ ，则 $\dot{{x}_{2d}}-\dot{{x}_{2}}=-k_{2}\delta$ ，即 ${x}_{2d}={x}_{2}-k_{2}\delta$ 。与此同时， $\dot{\delta }=\dot{{x}_{2d}}-\dot{{x}_{2}}=\dot{{x}_{2d}}+\frac{u}{m}+\frac{a}{m}x^{3}_{1}$ ，将 $\dot{{x}_{2d}}=\dot{{x}_{2}}-k_{2}\dot{\delta}$ 代入得 $\dot{\delta }=\ddot{x}_{1d}-k_{1}\dot{e}+\frac{u}{m}+\frac{a}{m}x^{3}_{1}\xrightarrow[\dot{e}=\dot{x}_{1d}-{x}_{2}]{}\dot{\delta }=\ddot{x}_{1d}-k_{1}(\dot{x}_{1d}-{x}_{2})+\frac{u}{m}+\frac{a}{m}x^{3}_{1}$

第五步：求出u= $-(me+mx_{1d}+mk_{1}(\dot{x}_{1d}-{x}_{2})+ax_{1}^{3}+mk_{2}\delta)$

例子二：

3、滑模控制其设计（SMC）

介绍：

滑动模态是系统被限制在某一子流形上运动时的状态。一般而言，系统的初始状态不一定在该子流形上；而通过变结构控制器的作用可以在一定时间范围内将系统的状态轨迹驱使到并保持在该子流形上，该过程称为到达过程。系统的状态轨迹在滑动模态上运动并最终趋于原点，该过程称为滑模运动。

要求：

例如为了使 $\left\{\begin{matrix} \\ \dot{x_{1}}=x_{2}& \\ \\ \dot{x_{2}}=f(x_{1},u,d)& \end{matrix}\right.$ 系统停留在 $x_{1}=0,x_{2}=0$ 。设计滑模面 $s=ax_{1}+bx_{2}$ 要求：

1.稳定性条件：在s=0的滑模面上，状态是收敛的，即滑动模态存在；
2.可达性条件：在切换面s=0以外的运动点将于有限时间内到达切换面；
3.保证滑模运动的稳定性；
4.达到控制系统运动品质要求。

从而令Lyapunov函数V= $\frac{1}{2}s^{2}$ ，当 $\dot{V}<0$ 系统在滑模面上收敛。

为了更具一般化，对于系统 $x^{(n)}=Ax+Bu$ ，要使系统停留在原点，设计的滑模面 $s=\sum_{i}^{n-1}c_{i}x_{i}+x_{n}$ ，此时滑模面的要求为 $\sum_{i}^{n-1}c^{i}x^{i-1}+x^{n-1}$ 满足赫尔维茨。取V= $\frac{1}{2}s^{2}$ ,为了使系统稳定，我们需要使 $V < 0 ,\dot{V}<0$ 此时系统对于s而言是渐进稳定，不能保证其有限时间到达s=0的滑模面上(渐进稳定是当t趋于无穷时，状态变量x趋于0，即无限时间到达)，因此需要 $s\dot{s} < -\sigma<0$ ，σ是一个极小的正数。
但是每次设计总不能都用李雅普诺夫函数判断，于是人们就提出了趋近律这一概念，常用的趋近律有如下几种：
1.等速趋近律： $\dot{s}=-\varepsilon sign(s)$ ，ε > 0
2.指数趋近律： $\dot{s}=-\varepsilon sgn(s)-ks$ ，ε > 0 ，k>0
3.幂次趋近律： $\dot{s}=-k |s|^{\alpha }sgn(s)$ ，k > 0 , 1 > α > 0。

对于幂次趋近律，选取Lyapunov函数： V= $\frac{1}{2}s^{2}$

所以 $\dot{V}=s\dot{s}=-k s|s|^{\alpha }sgn(s)<0$ 。所以轨迹s(t)大范围渐近稳定到原点。s(t)在有限时间内到达原点。

4、自适应控制器设计（APC）：

设被控对象的状态方程和输出方程如下所示：

$\dot{x(t)}=Ax(t)+Bu(t),y=x(t)$

那么参考模型的状态方程和输出方程可构造为如下所示：

$\dot{x_{m}(t)}=A_{m}x_{m}(t)+B_{m}u_{m}(t),y_{m}=x_{m}(t)$

首先，对原系统和模型做差如下：

$\dot{e}=\dot{x_{m}(t)}-\dot{x_(t)}=A_{m}x_{m}(t)+B_{m}u_{m}(t)(t)-Ax(t)-Bu(t)$

如果强迫误差e为零,系统需要满足矩阵Am特征根大小为负,且令控制器输出满足如下：

$u(t)=ac(x)+bx(t)$

由于控制器中的参数a，b未知，便有了自适应率的出现。自适应率的设计目的就是为了在线辨识出控制器中的这两个未知参数。

方法1：梯度法

假设MRAC控制器中含有一个未知可调节的参数，定义参考模型和被控对象的状态变量偏差如下： $\dot{e}=\dot{x_{m}(t)}-\dot{x_(t)}$

在上式子中，我们的目标是通过调节参数来令偏差最小，

这里引入一个损失函数（loss function）如下：J= $\frac{1}{2}e^{2}$

如果令 e=0，则J=0。也就是需要求得J的最小值。利用梯度下降算法，即：

沿着的负梯度方向变化参数（由于梯度的正方向是损失函数上升最快的方向，我们要最小化J ，即让参数沿着梯度相反的方向前进一个步长，因此参数变化的反方向与J的负梯度方向一致，可以获得的极小值）。

方法2：稳定性理论分析法（李雅普诺夫第二法、波波夫超稳定性法等）

三、相关概念

1、极限环

非线性系统可能会呈现固定振幅固定周期无外部激励的自震荡现象，这些自震荡被称之为极限环或者自激励震荡。这个重要的现象由荷兰电子工程师Van der Pol在1920年代第一次研究发现
例1.3 范德玻尔方程
考虑如下二阶非线性差分方程：

m,c,k都是正的常量。该方程可以看成是一个带有与位置相关的阻尼项2c(x2-1)的质量-弹簧-阻尼系统，如果x值大一些，那么阻尼项是正的且在消耗系统里的能量，这表示该系统有一个收敛的趋势。而当x小一些时，阻尼项为负并开始往系统里面增加能量（这里能量的减少与增加是怎么看出来的？），表示系统有一个发散的趋势。因此，由于非线性项随着x一直改变，系统的运动呈现一个持续不断，且与初值无关的震荡，既不会无限发散也不会收敛到0。

线性系统里面也有周期震荡，但线性系统的周期震荡和这里的极限环是有区别的。首先，非线性系统的自激励震荡幅度与初值无关，而线性系统的周期震荡幅度由初值决定；另外，线性系统的对于系统参数的变化十分敏感，而非线性系统极限环受参数变化的影响很小。

极限环代表了一类非线性系统里面很重要的一个现象，在自然与工程中很常见。比如机翼的风抖，一种由结构振动和空气动力引发的极限环现象，这很常见也对飞行器很不安全。另外腿结构机器人的单足跳跃运动也是极限环的一个例子。可以发现，极限环有的时候对系统是有害的，有的时候是有用的。有害的时候作为一个控制工程师就要知道怎么消除它，有用的时候就要知道怎么激励并利用它。要做到这个需要理解极限环的性质，以及熟悉一些操控极限环的方法工具

2、分岔

当非线性动态系统的一些参数变化时，平衡点的稳定性和平衡点的数量有可能会随之改变，这就叫分岔现象，这些使系统发生质变的参数数值被称之为关键数值或者分岔数值(critical value or bifurcation value)，研究分析现象就是分岔理论所要讨论的问题。

3、混沌

对于稳定线性系统，初值的小变化只能引起输出的小变化。而非线性系统，可能会呈现出混沌现象，意思是系统响应对初值十分敏感。混沌的一个重要特征就是输出结果的不可预测性，即便我们有了准确的非线性系统模型以及很强的计算机，系统的长期响应依旧不能很好地预测。

我们必须要能区分混沌与随机运动的区别，在随机运动中，系统模型或者输入有很强的不确定性，因此造成了输出的不可预测。在混沌中，系统与输入有着很小的不确定性，但依旧不可预测输出。

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非线性系统稳定性理论分析、设计方法

一、理论部分

1、用图形的方法提供对非线性效应的直观理解（相平面分析&描述函数法）

相平面分析

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2、基于Lyapunov理论的非线性系统稳定性分析

稳定性：

Lyapunov第一法：

Lyapunov第二法：

由拉塞尔不变集优化的Lyapunov第二法：

Lyapunov不稳定性判据：

寻找Lyapunov函数的一些方法和技巧：

二、非线性控制器设计

1、反馈线性化

2、反步法

3、滑模控制其设计（SMC）

介绍：

要求：

4、自适应控制器设计（APC）：

三、相关概念

1、极限环

2、分岔

3、混沌

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