《算法导论》知识点总结

《算法导论》的学习路线：

1.MIT网易公开课《算法导论》，授课老师也是《算法导论》书的作者之一。讲解的内容几乎围绕书籍，不过其中跳跃表和自组织表书中没有，并行算法和缓存参数无关算法还没看。

2.课程配套的笔记，csdn博客：MIT算法导论公开课之课程笔记，可提前看一遍熟悉一下课程内容，这样看视频有重点。

3.看《算法导论》书籍，主要看了前半部分，其中高级数据结构和算法问题选编还没看。

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《算法导论》书籍内容总结：

第一部分基础知识

1.算法基础
插入排序：
思路：从2开始向后循环，判断A[j]是否比前面大，则将其调到合适位置(将前一值赋给后一值，最前那个用最后赋值)。
运行时间：
最坏：无序，theta(n^2)
最好：有序，theta(n)
归并排序：
思路：分成两个子数组、分别排序、合并排序
运行时间：T(n)=2T(n/2)+theta(n)，递归树求解，T(n)=theta(nlogn)。
分治策略：
分解、解决、合并
递归算法：递归情况和基本情况

2.渐进符号
theta():渐进紧确解
O():渐进上界
Omega():渐进下界
o():非渐进上界
w():非渐进下界

3.运行时间函数的递归式求解
代入法;
归纳证明
递归树法：
确定树高，所有层次之和
主方法;
T(n)=aT(n/b)+f(n)
case1:若f(n)=O(n^logba)，则T(n)=theta(n ^ logba)
case2:若f(n)=theta(n^logba)，则T(n)=theta(n ^ logba * logn)
case3:若f(n)=omega(n^logba)，则T(n)=theta(f(n))

第二部分排序算法

4.快速排序
思路：选主元、原址分区、前半部分排序、后半部分排序（分治策略）
性能：取决于分区的平衡度
最坏：(0：n-1)，运行时间：T(n)=T(n-1)+T(0)+theta(n)，T(n)=theta(n^2)
最好：比例划分，运行时间：T(n)=2T(n/2)+theta(n)，T(n)=theta(nlogn)
lucky与unlucky交替：运行时间：theta(nlogn)
改进：随机快速排序
在原有的快速排序基础上，加一个随机选择数i，A[i]与主元交换，然后分区、排序
期望运行时间：theta(n*logn)

5.线性时间排序
决策树：
之前的排序均属于比较排序，可以抽象成一颗决策树。
决策树的高度至少为nlogn => 比较排序的运行时间为Omega(nlogn)
而堆排序和归并排序时间上界为nlogn，因而为渐进最优。
计数排序：
思路：利用元素个数确定输出位置
前提：n个元素的范围[0,k]，若k=O(n)，则T(n)=theta(n)。
运行时间：theta(n+k)
基数排序：
思路：
最低位计数排序、次地位计数排序、往前推
运行时间：
n个d位数，T(n)=theta(d*(n+k))
n个d位数=>d/r个r位数，T(n)=theta((d/r)*(n+2^r))

6.顺序统计量
问题：
n个数中输出第i小的数
随机选择算法：
思路：分区、判断第i个数落在哪个区、区内寻找
最坏：T(n)=theta(n^2)
期望时间：E[T(n)]=theta(n)，与快速排序的区别在于，快排递归处理两边，而随机选择递归处理其中一边，所以快排的期望时间nlogn，而随机选择的期望时间n。
改进选择算法：
思路：分组/每组5个元素/每组插入排序、对n/5个中位数选择中位数、以此中位数分区、递归选择
运行时间：最坏情况下线性

第三部分数据结构

7.基本数据结构
栈S：
S.top栈顶、压栈操作、出栈操作
队列Q：
Q.head队头、Q.tail队尾、入队操作、出队操作
链表L:
L.head表头、L.key关键字、L.next下指针、L.prev上指针
双向链表、单链表、循环链表
搜索、插入、删除

8.散列表
直接寻指表：
直接把关键字作为数组下标
散列表:
利用散列函数计算关键字对应的槽位置
若两个关键字映射到同一个槽，发生冲突。
冲突解决：链接法、开放寻址法
链接法解决冲突：
把散列到同一槽的所有元素放在一个链表
n个元素m个槽，装载因子a=n/m
在简单均匀散列下，一次成功查找和不成功查找的平均时间theta(1+a)
散列函数：
h(k)
每个关键字等可能散列到m槽中，与其他关键字散列情况无关
全域散列：
设计一组散列函数H，随机选择其中一个h，以防止恶意设置关键字。
从H中选择一个h，两个关键字发生冲突的概率1/m。
使两个关键字发生冲突的散列函数最多有|H|/m。
开放寻址法：
所有元素都放在散列表中，只不过要多次探查。
散列函数：h(k,i)
线性探查、二次探查、双重探查
开放寻址表中，一次不成功的查找，探查次数最多为1/(a-1)
完全散列：
两级散列结构，一级散列表存放n个关键字，散列到槽j的所有关键字放在一个二级散列表Sj中而不是链表。
Sj的槽数mj=ni^2，确保不发生冲突。
n个关键字存储在m=n^2的散列表中，表中冲突概率小于1/2。
使用总体存储空间的期望数为O(n)。

9.二叉搜索树
二叉搜索树：
以二叉树组织，同时满足x.left.key<=x.key，x.right.key>=x,key。
利用中序遍历算法（输出左子树、中间值、输出右子树），有序输出关键字，运行时间为theta(n)。
查询二叉搜索树：
查找：k与x.key比较，决定x=x.left或者x=x.right，while循环直到x=Nil或者k=x.key。
最大值：while循环到x.right=nil
最小值：while循环到x.left=nil
后继：大于x.key的最小关键字的结点，两种情况：右子树存在时右子树最小值；右子树不存在时沿树上升直到遇到一个结点是双亲的左孩子。
前驱：小于x.key的最大关键字的结点
运行时间：均为O(h)。
插入与删除：
插入：比较z.key与x.key值，决定x=x.left还是x.right，直到x=nil，修改z和z.p属性。
删除：分情况：一是没有孩子，直接删，修改父节点属性；二是只有一个孩子，删除后孩子提升到原有位置，修改父节点的属性；三是有两个孩子，用后继代替，又分后继是否为其右孩子。
运行时间：均为O(h)。
随机二叉搜索树：
随机选取一种排列，插入关键字到一颗初始的空树中而形成的树。
随机二叉树的期望高度：O(lgn)。

10.红黑树
红黑树性质：
在二叉搜索树的基础上每个结点增加一个颜色属性，x.color。
1.每个结点是红色或者黑色。
2.根结点和叶结点是黑色。
3.每个红结点的父节点都是黑色。
4.对于每个结点，从该结点到叶结点的路径上，均包含相同数目的黑色结点个数，用黑高表示，bh(x)。
一颗有n个内部结点的红黑树的高度至多为2log(n+1)。
旋转：
考虑到插入和删除操作后会红黑树难以维持属性，需要改色和旋转，维护红黑树的性质。
左旋、右旋
插入：
在二叉搜索树的插入操作基础上，调用辅助程序对结点改色和旋转。
辅助程序：当父节点为红色时循环操作直到为黑色，分三种情况：case1为叔结点为红色，只要修改父结点和叔结点为黑色，爷结点为红色，指针指向爷结点；case2为结点为右孩子，指针指向父结点，左旋，继续进行第三种处理；case3为结点为左孩子，改父结点和爷结点颜色，指针指向爷结点，右旋。
旋转不会超过两次。
运行时间：O(logn)。

11.数据结构扩张
顺序统计树：
1.一颗红黑树，每个结点附加以其为根的子树结点数，x.size=x.left.size+x.right.size+1。
2.一个元素的秩为在中序遍历树时输出的位置。
3.支持的新操作：
查找给定秩的元素：确定x的位置(x.left.size+1)，与i比较，决定左子树还是右子树找。
确定一个元素的秩：向上while循环到根节点，更新r，取决于x为右孩子还是左孩子。
4.红黑树的操作能维护size属性，以插入为例，沿插入路径改size属性，时间O(logn)，而改色不需要更改size属性，旋转只需要改两个结点的size，所以总时间仍是O(logn)。
如何扩张数据结构：
1.选择一种基础数据结构；
2.确定附加信息；
3.检验基础操作能否维护附加信息；
4.设计新操作。
区间树：
维护一系列区间数x.int，以x.int.low为次序形成红黑树，每个结点附加x.max属性，表示以x为根结点的子树中端点最大值。
新操作：找出树T中与区间i重叠的结点：当x.left!=nil and x.left.max>=i.low时，x=x.left，否则x=x.right，while循环到x=nil或者i与x,int重叠。

第四部分高级设计和分析技术

12.动态规划
动态规划与分治法的区别：
都是通过组合子问题的解来求解原问题
分治法将问题划分为互不相交的子问题
动态规划应用于子问题重叠的情况
动态规划实现的方法：
第一种方法为带备忘的由顶向下法，递归算法，当解决子问题解时首先检查是否保存过此解，如果有直接调用。
第二种方法为由底向上法，将子问题从小至大的顺序求解。
动态规划问题具备的两个要素：
最优子结构：原问题的最优解包括其子问题的最优解
子问题重叠：递归算法反复求解相同的子问题
最长公共子序列：
求解两个序列中最长的公共子序列，c[i,j]表示X[1,i]与Y[1,j]的最长公共子序列长度
递归解：
c[i,j]=0 (i=0 or j=0)
c[i,j]=c[i-1,j-1]+1 (i,j>0 and xi=yj)
c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1]) (i,j>0 and xi!=yj)
由底向上求解，子问题规模theta(m*n)

13.摊还分析
内容：
求数据结构的一个操作序列所执行的所有操作的平均时间
聚合分析：
确定一个n个操作的总代价T(n)，因为每个操作的平均代价为T(n)/n。
核算法：
确定每个操作的摊还代价，超出实际代价时存储，小于实际代价时取出。
要求总的摊还代价大于总的实际代价。
势能法：
定义每个数据结构对应的势能函数
确定每个操作的摊还代价，证明总摊还代价大于总实际代价
以表扩张为例研究摊还分析

第五部分图算法

14.最小生成树
问题描述：
已知无向图G(V,E)和权重函数w(u,v)，求解一棵树，边权重之和最小。
切割 (S,V-S)是集合V的一个划分
如果一条边(u,v)的一个端点位于集合S,另一个端点位于集合V-S，则边横跨切割。
若集合A不存在横跨切割的边，则该切割尊重集合A。
在横跨切割的所有边中权重最小的边为轻量级边。
定理：T为图G(V,E)的最小生成树，设S为V的一个子集，且有(u,v)为连通S和V-S的最小权值边，那么(u,v)属于T。
Prim算法：
这棵树从一个任意根结点r开始，一直长大到覆盖V中的所有结点为止。
算法每一步在连接集合A和A之外的结点的所有边中选择一条轻量级边加入A，贪心算法。
思路：优先队列弹出key最小的点，利用邻接表更新相邻点的key值，以及父结点。
最小生成树：A={(v,v.p)，v=V-{r}}

15.单源最短路径
问题描述：
已知带权重的有向图G(V,E)和权重函数w(u,v)，边权重之和最小的路径为最短路径，找出从结点s到每个结点的最短路径。
u,v之间最短路径定义为delta(u,v)。
边(u,v)的松弛操作：比较v.d和u.d+w(u,v)，更新最短路径估计值v.d。
Dijkstra算法：
要求所有边的权重为非负值。
算法重复从结点集V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入集合S中，然后对所有从u发出的边进行松弛。
算法终止时，对于所有结点u，u.d=delta(s,u)。
Bellman-Ford算法：
适用于一般情况。
思路：通过对边进行松弛操作来渐进降低从源结点s到每一个结点v的最短路径估计值v.d，直到该估计值与实际最短路径权重值delta(s,v)相同。
算法对图的每一条边进行|V|-1次处理，每一次对图每条边进行松弛操作。
运行时间：O(VE)。
差分约束系统：
线性约束：Ax<=b
在一个差分约束系统中，线性规划矩阵A的每一行包括一个1和一个-1，其他所有项皆为0。
对应的图论：Am*n看做是一张由n个结点和m条边构成的图，每一个结点vi对应n个未知量xi的一个，图中有向边则对应m个不等式的一个。
约束图中包含一个额外的结点v0，用来保证图中至少存在一个结点，从其出发可以到达所有其他结点，其中边w(v0,vi)=0。
如果xj-xi<=bk是一个差分约束条件，则边(vi,vj)的权重w(vi,vj)=bk。
如果G不包含权重为负值的环路，则x=(delta(v0,v1),delta(v0,v2),…delta(v0,vn))是该系统的一个可行解。如果图G包含权重为负值的环路，则该系统没有可行解。

16.所有结点对的最短路径问题
问题描述：
对于每对结点u和v，找到结点u到结点v的最短路径。
可以运行|V|次单源最短路径算法来解决所有结点对之间的最短路径问题，每一次使用一个不同的结点作为源结点。
与单源最短路径算法中使用邻接链表表示图不同，本章使用邻接矩阵来表示图。
算法的输入是n阶的W，代表有向图的权重，输出是n阶的D，代表结点间的最短路径权重。
Floyd-Warshall算法：
简单路径p=<v1,v2,…vl>上的中间结点指的是除v1和vl之外的任意结点。
考虑到结点i到结点j的所有中间结点均取自于集合{1,2,…k}的路径，设p为其中权重最小的路径。通过分析，可得到递归解：
dij(0)=wij
dij(k)=min(dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1)) (k!=0)
由底向上计算最短路径权重，计算D(0),D(1),…D(n)。

注意点：
熟悉书中伪码

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《算法导论》需要补充的内容

第二部分排序算法
堆排序
线性时间排序中的桶排序
第四部分高级设计和分析技术
贪心算法
第五部分高级数据结构
B树
斐波那契堆
van Emde Boas树
用于不相交集合的数据结构
第七部分算法问题选编
多线程算法
矩阵运算
线性规划
傅里叶变换
数论算法
NP完全性
近似算法