程序员的数学系列（一）

文章目录

第1章 0的故事
- 10进制
- 2进制
- 指数法则
- 0所起的作用
第2章逻辑
- 兼顾完整性和排他性
- 逻辑非
- 逻辑与
- 逻辑或
- 异或
- 相等
- 蕴含—若A则B
- 德·摩根定律
- 三值逻辑的德·摩根定律
- 本章小结
- - 逻辑的各种表现形式
第3章余数
- 星期数问题
- - 直观地把握规律
- 乘方得思考题
- 黑白棋通信

程序员的数学系列阅读笔记，第一部分介绍数学基础，还有一些有趣的数学问题

第1章 0的故事

无即是有，zero matters

10进制

2503

2×103+5×102+0×101+3×1002_{\times10^3}+5_{\times10^2}+0_{\times10^1}+3_{\times10^0}2×103+5×102+0×101+3×100

2进制

1100

1×23+1×22+0×21+0×201_{\times2^3}+1_{\times2^2}+0_{\times2^1}+0_{\times2^0}1×23+1×22+0×21+0×20

基数转换

2进制表示12

计算机计算过程：(21+19)→转换为2进制(10101+10011)→使用2进制计算(101000)→转换为10进制(40)(21+19)\xrightarrow{转换为2进制}(10101+10011)\xrightarrow{使用2进制计算}(101000)\xrightarrow{转换为10进制}(40)(21+19)转换为2进制(10101+10011)使用2进制计算(101000)转换为10进制(40)

指数法则

103→110102→110101→110100=110^3\xrightarrow{\frac{1}{10}}10^2\xrightarrow{\frac{1}{10}}10^1\xrightarrow{\frac{1}{10}}10^0=1103101102101101101100=1

25→1224→11023→1222→1221→1220→122−1=122^5\xrightarrow{\frac{1}{2}}2^4\xrightarrow{\frac{1}{10}}2^3\xrightarrow{\frac{1}{2}}2^2\xrightarrow{\frac{1}{2}}2^1\xrightarrow{\frac{1}{2}}2^0\xrightarrow{\frac{1}{2}}2^{-1}=\frac{1}{2}25212410123212221212120212−1=21

指数法则

Na×Nb=Na+b(N≠0)N^a\times\N^b=N^{a+b}(N\neq0)Na×Nb=Na+b(N=0)

0所起的作用

占位

2503，表示10位什么都没有
统一标准，简化规则

按位计数就可统一写为

ak×10ka_k\times10^kak×10k

n=3,a3=2,a2=5,a1=0,a0=3→2503n=3,a_3=2,a_2=5,a_1=0,a_0=3\rightarrow2503n=3,a3=2,a2=5,a1=0,a0=3→2503
0表示没有

有规律地服用一种胶囊，每4天停用一次。也就是3天服用，1天停用。于是每4粒胶囊中有1粒是“没有药效”的假胶囊，放入标有日期的盒子并放入每天需要服用的药，以后就只用每天服用。

第2章逻辑

真与假的二元世界

逻辑是消除歧义得工具

兼顾完整性和排他性

没有遗漏，没有重复

逻辑非

AAA	¬A\neg A¬A
true	false
false	true

双重否定表肯定

AAA	¬A\neg A¬A	¬¬A\neg\neg A¬¬A
true	false	true
false	true	false

逻辑与

A∧B(AandB)A\land B(A\quad and \quad B)A∧B(AandB)

真值表

AAA	BBB	A∧BA\land BA∧B
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	false

文氏图

文氏图表示¬(A∧B)\neg(A\land B)¬(A∧B)

逻辑或

A∨B(AorB)A\lor B(A\quad or\quad B)A∨B(AorB)

真值表

AAA	BBB	A∨BA\lor BA∨B
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

文氏图

文氏图表示(¬A)∨(¬B)(\neg A)\lor(\neg B)(¬A)∨(¬B)

异或

A⊕BA\oplus BA⊕B
真值表

AAA	BBB	A∨BA\lor BA∨B
true	true	false
true	false	true
false	true	true
false	false	false

文氏图

相等

A=BA=BA=B
真值表

AAA	BBB	A=BA=BA=B
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	true

文氏图

¬(A⊕B)→(A=B)\neg(A\oplus B)\rightarrow(A=B)¬(A⊕B)→(A=B)

蕴含—若A则B

A⟹BA\implies BA⟹B
真值表

AAA	BBB	A⟹BA\implies BA⟹B
true	true	true
true	false	false
false	true	true
false	false	true

A为true时，仅当B为false时A⟹BA\implies BA⟹B才为false
A为false时，A⟹BA\implies BA⟹B恒为true

此为逻辑上“如果”的定义

我们平时说的“若A则B”有两种情况

若A为true，则B也为true。若A为false，则B也为false
若A为true，则B也为true。但是，若A为false时，则B为true/false都可以（对B没有任何影响）

在逻辑上二者的区别在于，1是A=BA=BA=B，2是A⟹BA\implies BA⟹B

文氏图，(¬A)∨B(\neg A)\lor B(¬A)∨B的文氏图也是这样，于是(¬A∨B)⟺(A⟹B)(\neg A\lor B)\iff (A\implies B)(¬A∨B)⟺(A⟹B)，二者等价

B⟹AB\implies AB⟹A为A⟹BA\implies BA⟹B的逆命题，逆命题不一定为真

(¬B)⟹(¬A)(\neg B)\implies(\neg A)(¬B)⟹(¬A)的文氏图也和A⟹BA\implies BA⟹B的相同(二者等价)，即，((¬B)⟹(¬A))⟺(A⟹B)((\neg B)\implies(\neg A))\iff(A\implies B)((¬B)⟹(¬A))⟺(A⟹B)
此为A⟹BA\implies BA⟹B的逆否命题

德·摩根定律

(¬A)∨(¬B)=¬(A∧B)(\neg A)\lor(\neg B)=\neg(A\land B)(¬A)∨(¬B)=¬(A∧B)

(¬A)∧(¬B)=¬(A∨B)(\neg A)\land(\neg B)=\neg(A\lor B)(¬A)∧(¬B)=¬(A∨B)

三值逻辑的德·摩根定律

(!A)∨(!B)=!(A∧B)(!A)\lor(!B)=!(A\land B)(!A)∨(!B)=!(A∧B)
(!A)∧(!B)=!(A∨B)(!A)\land(!B)=!(A\lor B)(!A)∧(!B)=!(A∨B)

if (!(x >= 0 && y >= 0)) {.....
}
// equal to
if (x < 0 || y < 0) {....
}

本章小结

逻辑的各种表现形式

if语句将世界一分为二，条件成立的世界和条件不成立的世界

第3章余数

周期性和分组

星期数问题

今天是星期日，100天后是星期几？

1亿天呢？

1010010^{100}10100天后呢？

100÷7=14...2100\div7=14...2100÷7=14...2

因此100天后是星期二

108÷7=14285714...210^{8}\div7=14285714...2108÷7=14285714...2

因此1亿天后是星期二

0的个数	数字	除以7的余数	星期数
0	1	1	一
1	10	3	三
2	100	2	二
3	1000	6	六
4	10000	4	四
5	100000	5	五
6	1000000	1	一
7	10000000	3	三
8	100000000	2	二
9	1000000000	6	六
10	10000000000	4	四
11	100000000000	5	五
12	1000000000000	1	一

余数以1、3、2、6、4、5···的顺序循环

100÷6=16...4100\div6=16...4100÷6=16...4

余数为4，因此1010010^{100}10100天后是星期四

直观地把握规律

第n天是星期几

第10n10^n10n天是星期几

乘方得思考题

12345679876543211234567^{987654321}1234567987654321的个位数是什么

试算：

123456701234567^012345670的个位数=707^070的个位=1

123456711234567^112345671的个位数=717^171的个位=7

123456721234567^212345672的个位数=727^272的个位=9

123456731234567^312345673的个位数=737^373的个位=3

123456741234567^412345674的个位数=747^474的个位=1

123456751234567^512345675的个位数=757^575的个位=7

123456761234567^612345676的个位数=767^676的个位=9

123456771234567^712345677的个位数=777^777的个位=3

123456781234567^812345678的个位数=787^878的个位=1

123456791234567^912345679的个位数=797^979的个位=7

周期为4，用987654321对4取余0、1、2、3其中之一，它们分别对应1、7、9、3

余1，所以个位数是7

黑白棋通信

桌面随机7枚黑白棋棋子，魔术师蒙着眼睛，看不到棋子
魔术师徒弟看完7枚棋子后，又放进一枚，这时桌面有8枚棋子
观众可以选择翻转一枚或者不翻转任何棋子，此时观众和徒弟都不能说话
魔术师观察8枚棋子，马上就能判断观众是不是翻转了棋子