AcWing 850. Dijkstra求最短路 II(堆优化dijkstra)

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题目描述 ：

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入输出格式 ：

输入

第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 −1。

输入输出样例 ：

输入

3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4

输出

3

题目分析 ：

本题我们用堆优化版的dijkstra来解。堆优化版的dijkstra算法与SPFA算法的写法有些类似，但两者之间的算法思想不同。SPFA算法实质上是一种动态逼近法，用队列来实现，每次加入队列的点是松弛之后可以更新最短距离的点，每个点通过其前驱节点来更新到源点最短路，实现动态逼近，且SPFA算法中的st[i]状态数组标记的是i点是否在队列中。而堆优化版的dijkstra是通过堆来确定每一次遍历距离源点最短距离的点，将此点的st[i]赋值为true，意为此点为已经找到最短路径的点，其他部分与朴素dijkstra算法相同。

关于堆，其节点的数据类型为pair<int, int> 类型，第一个值为最短距离，第二个值为相应的点，且在此我们建立的是小根堆，堆顶元素为当前遍历层数下，距离源点最小距离的点(每一次遍历堆顶元素都是距离前一个点的最短距离，贪心叠加即为距离源点的最短距离)。我们先将{0，1}入队，作为heap的初始化，1为图的源点，0是1到1的距离。然后对heap进行遍历，每一次取出堆顶元素t，然后遍历与堆顶元素所对应的点t.second有直接边相连的所有点(在此图我们用邻接表来存储，即为遍历以t.second为头结点的邻接表)，然后我们判断每一个与其相连的点是否可以通过t.second为中间点进行松弛操作，来缩短与源点的距离，如可以，我们将这个点，和松弛之后的最短距离压入堆中。由此可见，堆中维护的是可能为最短路的点和相应的最短路径，且由于是pair<int, int> 类型，heap首先按照第一关键字进行排序，其次在按照第二关键字进行排序，因此堆顶的点一定是最小距离的点，若是每个点在堆中存有多个路径(即第一关键字不同，第二关键字相同)，每一点对应的第一个元素下的距离即为当前遍历层数下此点距离源点的最短距离(如不是堆顶元素则不一定是最终的最短距离，是相应遍历层数下的最短距离)。详见如下代码。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<functional>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 5e4 + 7;
int h[N], e[N], ne[N], cur;
int w[N];
int dist[N];
bool st[N];
int n, m;
void add(int v1, int v2, int c) {w[cur] = c;e[cur] = v2;ne[cur] = h[v1];h[v1] = cur ++ ;
}
int dijkstra() {memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));dist[1] = 0;priority_queue <PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//priority_queue<Type, Container, Functional>Type是比较类型，Container是容器类型，Funcitonal是比较方式 heap.push({0, 1});//heap在此是小根堆 维护最短距离 while (heap.size()) {PII k = heap.top();heap.pop();int v = k.second, distance = k.first;if (st[v]) continue;st[v] = true;for (int i = h[v]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]) {dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;else return dist[n];
}
int main() {memset(h, -1, sizeof(h));cin >> n >> m;while (m -- ) {int v1, v2, w;cin >> v1 >> v2 >> w;add(v1, v2, w);}cout << dijkstra() << endl;return 0;
}

在此我们给出堆优化版的dijkstra的模板

时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数, m 表示边数, 适用于稀疏图
ypedef pair<int, int> PII;int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号while (heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;if (st[ver]) continue;st[ver] = true;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}

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