第1章 离散数学与组合数学

【考点1】命题逻辑的等值演算与推理演算

1命题逻辑的基本概念、命题逻辑联结词与真值表，重言式

(1)命题逻辑的基本概念

命题是一个非真即假的陈述句，与事实相符的陈述句为真语句，记为T；与事实不符的陈述句为假语句，记为F。命题逻辑为二值逻辑。

只由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。

若干个简单命题通过联结词联结而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。

(2)常用的逻辑联结词

常用的逻辑联结词如表1-1所示。

表1-1 常用的逻辑联结词

(3)真值表

把命题公式A在一切可能的赋值下取得的值列成表，该表称为A的真值表。

(4)重言式(也叫永真式)

若命题公式A在任何一个赋值下的值都是真，则A称为重言式或永真式。

(5)矛盾式(也叫永假式)

若命题公式A在任何一个赋值下的值都是假，则A称为矛盾式或永假式。

(6)可满足式

若命题公式A在至少一个赋值下的值是真，则A称为可满足式。即当A不是矛盾式时，A为可满足式。

2简单命题的形式化

命题逻辑的自然语言形式化的基本过程分为三步：

(1)确定子命题，用命题形式p，q，……表示；

(2)确定联结词；

(3)按照自然语言语义构成复合命题。

3等值定理、基本等值公式以及等值演算

(1)等值定义

设A和B是命题公式，若A↔B是重言式，则称A和B等值或逻辑等价，记作AóB，Aó称为等值式或逻辑等价式。

(2)基本等值公式

一些基本等值式如表1-2所示。

表1-2 基本等值式

4命题公式与真值表的关系、联结词的完备集

(1)命题公式与真值表的关系

含n个变元的命题公式可以视为一个n元真值函数F：{0，1}n→{0，1}。反之任何n元真值函数都可以表示为一个含n个变元的命题公式。

(2)联结词的完备集

①定义

设S是一个联结词集合，若由S中联结词所构造的命题公式可以表示所有真值函数，则称S是联结词的完备集。

②举例

{﹁，∧，∨}、{﹁，∨}、{﹁，∧}、{﹁，→}都是联结词完备集。

5析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式

简单析取式：

仅由命题变元或命题变元的否定利用“∨”构成的析取式。

简单合取式：

仅由命题变元或命题变元的否定利用“∧”构成的合取式。

(1)析取范式

由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

(2)合取范式

由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

(3)主析取范式

对于给定的命题公式A(P1，P2，P3，……，Pn)，一个仅由最小项的析取构成的等值式称为原命题公式的主析取范式。

求解主析取范式的步骤：

①先求取命题公式A的范式

a．利用连结词化归律将→和↔消除(如果有的话)，使A中只含∨、∧、﹁；

b．利用德摩根律将A中的﹁(如果有的话)全都移到命题变元前；

c．利用双重否定律使A中所有命题变元前至多含有一个﹁(如果有的话)；

d．利用分配律求得A的析取范式和合取范式。

②求A的主析取范式

a．观察A的析取范式的每一个简单合取式B，如果B中某个命题变元pi和﹁pi均未出现，则根据等值式

B↔B∧(pi∨﹁pi)↔(B∧pi)∨(B∧﹁pi)

把不含pi的简单合取式B变成(B∧pi)和(B∧﹁pi)，反复进行，知道A的每一个变元pi均出现在全部的简单合取式中；

b．如果上述步骤得到的析取式中含有重复出现的简单合取式，或简单合取式中含有重复出现的变量(或其否定)，或者含有矛盾式，则应用幂等律、矛盾律、同一律等将它们消除；

c．将全部命题变元按字典顺序或按下标值大小顺序(通常是按从小到大的顺序)排列，并应用交换律将每个简单合取式中的命题变元也按此排列次序排定其位置，从而得到极小项；

d．最后按使得极小项为真的赋值对应的二进制数从小到大排列相应的极小项，极小项的排序使用交换律，从而得到主析取范式。

(4)主合取范式

对于给定的命题公式A(P1，P2，P3，……，Pn)，一个仅由最小项的合取构成的等值式称为原命题公式的主合取式。

6命题逻辑的推理规则与推理演算，归结推理证明方法

(1)推理公式

基本的推理公式如表1-3所示。

表1-3 基本推理公式

(2)推理方法

①直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理准则，根据已知的蕴含式或等值式推导出有效结论的方法。

②间接证法：包括反证法和CP规则。

7命题逻辑公理系统的概念，公理系统的基本结构

(1)公理系统的概念

公理系统是从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成演绎体系。

(2)公理系统的基本结构

①罗素公理系统；

②弗雷格公理系统；

③卢卡西维茨公理系统。