11.1 BFS算法的实验范例

§6.1 概述 

         图

        图结构是描述和解决实际应用问题的一种基本而有力的工具。所谓的图（graph），可定义为G = (V, E)。其中，集合V中的元素称作顶点（vertex）；集合E中的元素分别对应于V中的某一对顶点(u, v)，表示它们之间存在某种关系，故亦称作边（edge） ①。一种直观显示图结构的方法是，用小圆圈或小方块代表顶点，用联接于其间的直线段或曲线弧表示对应的边。 从计算的需求出发，我们约定V和E均为有限集，通常将其规模分别记n = |V|和e = |E|。

       无向图、有向图及混合图

       若边(u, v)所对应顶点u和v的次序无所谓，则称作无向边（undirected edge），例如表示同学关系的边。反之若u和v不对等，则称(u, v)为有向边（directed edge），例如描述企业与银行之间的借贷关系，或者程序之间的相互调用关系的边。

在某些文献中，顶点也称作节点（node），边亦称作弧（arc），本章则统一称作顶点和边。

       如此，无向边(u, v)也可记作(v, u)，而有向的(u, v)和(v, u)则不可混淆。这里约定，有向边(u, v)从u指向v，其中u称作该边的起点（origin）或尾顶点（tail），而v称作该边的终点（destination）或头顶点（head）。

       若E中各边均无方向，则G称作无向图（undirected graph，简称undigraph）。例如在描述影视演员相互合作关系的图G中，若演员u和v若曾经共同出演过至少一部影片，则在他（她） 们之间引入一条边(u, v)。反之，若E中只含有向边，则G称作有向图（directed graph，简称 digraph）。例如在C++类的派生关系图中，从顶点u指向顶点v的有向边，意味着类u派生自类v。特别地，若E同时包含无向边和有向边，则G称作混合图（mixed graph）。例如在北京市内交通图中，有些道路是双行的，另一些是单行的，对应地可分别描述为无向边和有向边。

        相对而言，有向图的通用性更强，因为无向图和混合图都可转化为有向图————如图6.1所示， 每条无向边(u, v)都可等效地替换为对称的一对有向边(u, v)和(v, u)。因此，本章将主要针对有向图，介绍图结构及其算法的具体实现。

       度

        对于任何边e = (u, v)，称顶点u和v彼此邻接（adjacent），互为邻居；而它们都与边e彼此关联（incident）。在无向图中，与顶点v关联的边数，称作v的度数（degree），记作deg(v)。以图6.1(a)为例，顶点{ A, B, C, D }的度数为{ 2, 3, 2, 1 }。

        对于有向边e = (u, v)，e称作u的出边（outgoing edge）、v的入边（incoming edge）。v的出边总数称作其出度（out-degree），记作outdeg(v)；入边总数称作其入度（in-degree），记作indeg(v)。在图6.1(c)中，各顶点的出度为{ 1, 3, 1, 1 }，入度为{ 2, 1, 2, 1 }。

简单图

        联接于同一顶点之间的边，称作自环（self-loop）。在某些特定的应用中，这类边可能的确具有意义————比如在城市交通图中，沿着某条街道，有可能不需经过任何交叉路口即可直接返回原处。不含任何自环的图称作简单图（simple graph），也是本书主要讨论的对象。

通路与环路

         所谓路径或通路（path），就是由m + 1个顶点与m条边交替而成的一个序列：π = { v0, e1, v1, e2, v2, ..., em, vm }

         且对任何0 < i <= m都有ei = (vi-1, vi)。也就是说，这些边依次地首尾相联。其中沿途边的总数m，亦称作通路的长度，记作|π| = m。

         为简化描述，也可依次给出通路沿途的各个顶点，而省略联接于其间的边，即表示为： π = { v0, v1, v2, ..., vm }

        图6.2(a)中的{ C, A, B, A, D }，即是从顶点C到D的一条通路，其长度为4。可见，尽管通路上的边必须互异，但顶点却可能重复。沿途顶点互异的通路，称作简单通路（simple path）。在图6.2(b)中，{ C, A, D, B }即 是从顶点C到B的一条简单通路，其长度为3。

        特别地，对于长度m >= 1的通路π，若起止顶点相同（即v0 = vm），则称作环路（cycle），其长度也取作沿途边的总数。图6.3(a)中，{ C, A, B, A, D, B, C }即是一条环路，其长度为 6。反之，不含任何环路的有向图，称作有向无环图（directed acyclic graph, DAG）。

          同样，尽管环路上的各边必须互异，但顶点却也可能重复。反之若沿途除v0 = vm外所有顶点均互异，则称作简单环路（simple cycle）。例如，图6.3(b)中的{ C, A, B, C }即是一条简单环路，其长度为3。特别地，经过图中各边一次且恰好一次的环路，称作欧拉环路 （Eulerian tour）————当然，其长度也恰好等于图中边的总数e。

        图6.4(a)中的{ C, A, B, A, D, C, D, B, C }即是一条欧拉环路，其长度为8。对偶地，经过图中各顶点一次且恰好一次的环路，称作哈密尔顿环路（Hamiltonian tour），其长度亦等于构成环路的边数。图6.4(b)中，{ C, A, D, B, C }即是一条长度为4的哈密尔顿环路。

带权网络

        图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，有时还需要表示这一关系的具体细节。以铁路运输为例，可以用顶点表示城市，用顶点之间的联边，表示对应的城市之间是否有客运铁路联接；同时，往往还需要记录各段铁路的长度、承运能力，以及运输成本等信息。

       为适应这类应用要求，需通过一个权值函数，为每一边e指定一个权重（weight），比如wt(e) 即为边e的权重。各边均带有权重的图，称作带权图（weighted graph）或带权网络（weighted network），有时也简称网络（network），记作G(V, E, wt())。

复杂度

        与其它算法一样，图算法也需要就时间性能和空间性能，进行分析和比较。相应地，问题的输入规模，也应该以顶点数与边数的总和（n + e）来度量。不难看出，无论顶点多少，边数都有可能为0。那么反过来，在包含n个顶点的图中，至多可能包含多少条边呢？

        对于无向图，每一对顶点至多贡献一条边，故总共不超过n(n - 1)/2条边，且这个上界由完全图达到。对于有向图，每一对顶点都可能贡献（互逆的）两条边，因此至多可有n(n - 1) 条边。总而言之，必有e = O(n^2 )。

§6.2 抽象数据类型

6.2.1 操作接口

       作为抽象数据类型，图支持的操作接口分为边和顶点两类，分列于表6.1和表6.2。

6.2.2 Graph模板类

         代码6.1以抽象模板类的形式，给出了图ADT的具体定义。

        仍为简化起见，这里直接开放了变量n和e。除以上所列的操作接口，这里还明确定义了顶点和边可能处于的若干状态，并通过内部接口reset()复位顶点和边的状态。

        图的部分基本算法在此也以操作接口的形式供外部用户直接使用，比如广度优先搜索、深度优先搜索、双连通分量分解、最小支撑树、最短路径等。为求解更多的具体应用问题，读者可照此模式，独立地补充相应的算法。

        就功能而言，这些算法均超脱于图结构的具体实现方式，借助统一的顶点和边ADT操作接口直接编写。尽管如此，正如以下即将看到的，图算法的时间、空间性能，却与图结构的具体实现方式紧密相关，在这方面的理解深度，也将反映和决定我们对图结构的驾驭与运用能力。

§6.3 邻接矩阵

6.3.1 原理

        邻接矩阵（adjacency matrix）是图ADT最基本的实现方式，使用方阵A[n][n]表示由n个顶点构成的图，其中每个单元，各自负责描述一对顶点之间可能存在的邻接关系，故此得名。

        对于无权图，存在 （不存在）从顶点u到v的边，当且仅当A[u][v] = 1（0）。图6.5(a)和(b)即为无向图和有向图的邻接矩阵实例。这一表示方式，不难推广至带权网络。此时如图(c)所示，矩阵各单元可从布尔型改为整型或浮点型，记录所对应边的权重。对于不存在的边，通常统一取值为∞或0。