位置-尺度变换是随机变量很常见的一类变换，对于一元随机变量XXX，假设XXX的累积分布函数为F(x)F(x)F(x)，概率密度为f(x)f(x)f(x)，其中F(x),f(x)F(x),f(x)F(x),f(x)是不含参变量的已知函数。定义
Z=σX+μZ = \sigma X + \muZ=σX+μ

则称ZZZ是XXX的一个位置-尺度变换，其中μ\muμ是位置变换参数，σ\sigmaσ是尺度变换参数。
FZ(z)=P(Z≤z)=P(σX+μ≤z)=P(X≤(z−μ)/σ)=F((z−μ)/σ)fZ(z)=FZ′(z)=1σf((z−μ)/σ)F_Z(z) = P(Z \le z) = P(\sigma X + \mu \le z) = P(X \le (z-\mu)/\sigma) = F((z-\mu)/\sigma) \\ f_Z(z) = F_Z'(z) = \frac{1}{\sigma} f((z-\mu)/\sigma)FZ​(z)=P(Z≤z)=P(σX+μ≤z)=P(X≤(z−μ)/σ)=F((z−μ)/σ)fZ​(z)=FZ′​(z)=σ1​f((z−μ)/σ)

称fZ(z)f_Z(z)fZ​(z)属于位置-尺度参数族。

对位置-尺度参数族做位置-尺度变换

假设Y=a+bZY = a+bZY=a+bZ，则
FY=P(Y≤y)=P(a+bZ≤y)=P(Z≤(y−a)/b)=FZ((y−a)/b)fY(y)=1bfZ((y−a)/b)=1bσf(y−a−bμbσ)F_Y=P(Y \le y) = P(a+bZ \le y) = P(Z \le (y-a)/b) = F_Z((y-a)/b) \\ f_Y(y) = \frac{1}{b}f_Z((y-a)/b) = \frac{1}{b\sigma}f\left(\frac{y-a-b\mu}{b\sigma}\right)FY​=P(Y≤y)=P(a+bZ≤y)=P(Z≤(y−a)/b)=FZ​((y−a)/b)fY​(y)=b1​fZ​((y−a)/b)=bσ1​f(bσy−a−bμ​)

ZZZ的位置-尺度参数为(μ,σ)(\mu,\sigma)(μ,σ)，经过再一次的位置-尺度变换Y=a+bZY = a+bZY=a+bZ后，其参数变为(a+bμ,bσ)(a+b\mu,b\sigma)(a+bμ,bσ)。

还有一个很重要的问题是怎么证明某个随机变量ZZZ服从位置-尺度参数族。根据上面的叙述我们有两种证明方法，第一种证明方法是直接根据定义，只要找到分布函数已知的随机变量XXX，然后证明ZZZ是XXX的一个位置-尺度变换即可；第二种证明方法就是利用这条性质，如果对ZZZ再做一个位置-尺度变换，并且上述性质满足，那么ZZZ服从位置-尺度参数族。

对正态分布做位置-尺度变换

假设Z∼N(μ,σ2)Z \sim N(\mu,\sigma^2)Z∼N(μ,σ2)，做变换Y=a+bZY = a + bZY=a+bZ，则Y∼N(a+bμ,b2σ2)Y \sim N(a+b\mu,b^2\sigma^2)Y∼N(a+bμ,b2σ2)。先从正态分布的线性变换不变性来理解，YYY是ZZZ的线性变换的结果，因此YYY也服从正态分布，
EY=E[a+bZ]=a+bEZ=a+bμVar(Y)=Var(a+bZ)=b2Var(Z)=b2σ2⇒Y∼N(a+bμ,b2σ2)EY = E[a + bZ] = a + bEZ = a + b \mu \\ Var(Y) = Var(a + bZ) = b^2 Var(Z) = b^2 \sigma^2 \\ \Rightarrow Y \sim N(a + b \mu,b^2 \sigma^2)EY=E[a+bZ]=a+bEZ=a+bμVar(Y)=Var(a+bZ)=b2Var(Z)=b2σ2⇒Y∼N(a+bμ,b2σ2)

下面验证正态分布是位置-尺度参数族：
fZ(z)=12πσexp⁡(−(z−μ)22σ2)f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left( -\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)fZ​(z)=2π​σ1​exp(−2σ2(z−μ)2​)

方法一（定义法）：假设W∼N(0,1)W \sim N(0,1)W∼N(0,1)，则WWW的分布函数不含未知参数。因为Z=μ+σWZ = \mu + \sigma WZ=μ+σW，所以ZZZ服从位置-尺度参数族，位置-尺度参数为(μ,σ)(\mu,\sigma)(μ,σ)。

方法二（位置-尺度变换法）：假设Y=a+bZY = a+ bZY=a+bZ，则Y∼N(a+bμ,(bσ)2)Y \sim N(a+ b\mu,(b\sigma)^2)Y∼N(a+bμ,(bσ)2)，由此看出ZZZ是位置-尺度参数族，并且位置-尺度参数为(μ,σ)(\mu,\sigma)(μ,σ)。

这个例子给我们提了个醒，分布的自然参数（比如这里的μ,σ2\mu,\sigma^2μ,σ2）不一定是位置-尺度参数（比如这里是μ,σ\mu,\sigmaμ,σ）。

对Gamma分布做位置-尺度变换

假设Z∼Γ(α,β)Z \sim \Gamma(\alpha,\beta)Z∼Γ(α,β)，讨论ZZZ是不是位置-尺度参数族，因为Gamma分布对线性变换的规律没有学过，所以考虑用位置-尺度变换法来做。假设Y=Z−abY = \frac{Z-a}{b}Y=bZ−a​，则
P(Y≤y)=P(Z≤a+by)=FZ(a+by)fY(y)=bfZ(a+by)P(Y \le y) = P(Z \le a+ by) = F_Z(a + by) \\ f_Y(y) = bf_Z(a+by) P(Y≤y)=P(Z≤a+by)=FZ​(a+by)fY​(y)=bfZ​(a+by)

因此
fY(y)=bβα(a+by)α−1Γ(α)e−β(a+by)=(bβ)α(ab+y)α−1Γ(α)e−bβ(ab+y),y>−abf_Y(y) = b \frac{\beta^{\alpha}(a+by)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\beta(a+by)} = \frac{(b\beta)^{\alpha}(\frac{a}{b}+y)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-b\beta(\frac{a}{b}+y)},y > -\frac{a}{b}fY​(y)=bΓ(α)βα(a+by)α−1​e−β(a+by)=Γ(α)(bβ)α(ba​+y)α−1​e−bβ(ba​+y),y>−ba​

显然这个形式并不是Gamma分布，那么它是个什么呢？假设a=0a=0a=0，则Y=Z/bY=Z/bY=Z/b的概率密度为
fY(y)=(bβ)αyα−1Γ(α)e−bβyf_Y(y) = \frac{(b\beta)^{\alpha}y^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-b\beta y}fY​(y)=Γ(α)(bβ)αyα−1​e−bβy

这是Γ(α,bβ)\Gamma(\alpha,b\beta)Γ(α,bβ)的概率密度。所以Gamma分布并不是位置-尺度参数族。记λ=1/β\lambda = 1/\betaλ=1/β，Y=bZY = bZY=bZ，则
fZ(z)=(1λ)αzα−1Γ(α)e−zλfY(y)=(1λb)αyα−1Γ(α)e−yλbf_Z(z) = \frac{(\frac{1}{\lambda})^{\alpha}z^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{z}{\lambda}} \\ f_Y(y) = \frac{(\frac{1}{\lambda b})^{\alpha}y^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{y}{\lambda b}}fZ​(z)=Γ(α)(λ1​)αzα−1​e−λz​fY​(y)=Γ(α)(λb1​)αyα−1​e−λby​

即λ\lambdaλ是Gamma分布的尺度参数。根据上面的推导，假设b=1b=1b=1，则Y=a+ZY=a+ZY=a+Z的概率密度为
fY(y)=βα(a+y)α−1Γ(α)e−β(a+y),y>−af_Y(y) = \frac{\beta^{\alpha}(a+y)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}e^{-\beta(a+y)},y>-afY​(y)=Γ(α)βα(a+y)α−1​e−β(a+y),y>−a

相当于就是让概率密度往左平移aaa个单位。

对指数分布做位置尺度变换

指数分布是一种特殊的Gamma分布，Exp(β)=Γ(1,β)Exp(\beta) = \Gamma(1,\beta)Exp(β)=Γ(1,β)，因此指数分布也是尺度分布，它的尺度参数也是1/β1/\beta1/β。假设Z∼Exp(β)Z \sim Exp(\beta)Z∼Exp(β)，则
fZ(z)=βe−βz,z>0f_Z(z) = \beta e^{-\beta z},z>0fZ​(z)=βe−βz,z>0

做尺度变换Y=bZY = bZY=bZ，则尺度参数变为b/βb/\betab/β，指数分布变为Exp(β/b)Exp(\beta/b)Exp(β/b)，
fY(y)=βbe−βby,y>0f_Y(y) = \frac{\beta}{b} e^{-\frac{\beta}{b}y},y>0fY​(y)=bβ​e−bβ​y,y>0

对均匀分布做位置-尺度变换

假设Z∼U(c−θ,c+θ)Z \sim U(c-\theta,c+\theta)Z∼U(c−θ,c+θ)，考虑Y=a+bZY = a + bZY=a+bZ，
P(Y≤y)=P(z≤y−ab)=y−a−b(c−θ)2bθfY(y)=1b12θP(Y \le y) = P(z \le \frac{y-a}{b} ) = \frac{y-a-b(c-\theta)}{2b\theta} \\ f_Y(y) = \frac{1}{b} \frac{1}{2\theta}P(Y≤y)=P(z≤by−a​)=2bθy−a−b(c−θ)​fY​(y)=b1​2θ1​

这说明均匀分布是位置尺度参数族，其位置尺度参数为(c−θ,θ)(c-\theta,\theta)(c−θ,θ)，经过位置-尺度变换Y=a+bZY = a + bZY=a+bZ，其位置尺度参数变为(a+b(c−θ),bθ)(a+b(c-\theta),b\theta)(a+b(c−θ),bθ)。

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