DP全称动态规划，是算法中的重中之重。

背包问题

01背包： 每件物品最多只用一次

完全背包： 每件物品有无限个

多重背包： 每件物品有不同多个

分组背包： 有多个组，每组内有多个物品，每一个组内只能选一个

01背包问题

//f[i][j] 从前i个物品选,体积不超过j的最大价值
for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}
}
cout<<f[n][m];

//空间优化的01背包  f[i] 表示体积不超过i的最大价值
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}
}
cout<<f[m];

完全背包

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];f(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);}
}
cout<<f[n][m]<<endl;

//空间优化for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=v[i];j<=m;j++)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m]<<endl;

多重背包

//暴力模板
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>cnt[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=cnt[i]&&v[i]*k<=j;k++)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
cout<<f[n][m];

//二进制优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3*3+10;
int f[N],v[N],w[N],cnt,n,m;
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){int v1,w1,c; cin>>v1>>w1>>c;int k=1;while(c>=k){++cnt;v[cnt]=v1*k,w[cnt]=w1*k;c-=k,k*=2;}if(c) {++cnt;v[cnt]=c*v1,w[cnt]=w1*c;}}for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}cout<<f[m];return 0;
}

分组背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m,f[N][N],w[N][N],v[N][N],cnt[N];
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>cnt[i];for(int j=1;j<=cnt[i];j++) cin>>v[i][j]>>w[i][j];}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];for(int k=1;k<=cnt[i];k++){if(j>=v[i][k]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);}}}cout<<f[n][m];return 0;
}

习题

2. 01背包问题
3. 完全背包问题
4. 多重背包问题 I
5. 多重背包问题 II
9. 分组背包问题

线性DP

最长上升子序列

//朴素版
for(int i=0;i<n;i++) cin>>h[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{f[i]=1;for(int j=0;j<i;j++) if(h[j]<h[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
}
int res=0;
for(int i=0;i<n;i++) res=max(res,f[i]);
cout<<res;

//二分+贪心优化版
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,q[N],a[N],len;
int main(void)
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];q[0]=-2*1e9;//哨兵for(int i=0;i<n;i++){int l=0,r=len;while(l<r){int mid=l+r+1>>1;if(q[mid]<a[i]) l=mid;else r=mid-1;}len=max(len,r+1);q[r+1]=a[i];}cout<<len;return 0;
}

最长公共子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int f[N][N],n,m;
char a[N],b[N];
int main(void)
{cin>>n>>m>>a+1>>b+1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(a[i]!=b[j]) f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);else f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

一个字符串修改后变成另一个字符串的最少步数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int f[N][N],n,m;
char a[N],b[N];
int main(void)
{cin>>n>>a+1>>m>>b+1;for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=i;for(int j=1;j<=m;j++) f[0][j]=j;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+(a[i]!=b[j]));}}cout<<f[n][m]<<endl;//f[n][m]字符串a的前n个字符和字符串b的前m个字符相等需要的最小步数return 0;
}

区间DP

计数类DP

状态压缩DP

状压 dp 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

树形DP

记忆化搜索

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ACM入门之【DP】

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背包问题

01背包问题

完全背包

多重背包

分组背包

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线性DP

最长上升子序列

最长公共子序列

一个字符串修改后变成另一个字符串的最少步数

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状态压缩DP

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