第四章 数学知识【完结】
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目录
- 试除法判定质数
- 试除法分解质因数
- 朴素筛法求素数
- 埃氏筛法求素数
- 线性筛法
- 试除法求所有约数
- 约数个数和约数之和
- 欧几里得算法
- 求欧拉函数
- 筛法求欧拉函数 【不熟】
- 快速幂
- 扩展欧几里得算法
- 中国剩余定理 【未解决】
- 高斯消元 【不熟】
- 求组合数 【不熟】
- 容斥定理 【不熟】
- 博弈论【不会】
试除法判定质数
866. 试除法判定质数
时间复杂度是根号n
bool is_prime(int x)
{if (x < 2) return false;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)return false;return true;
}
试除法分解质因数
867. 分解质因数
时间复杂度是 logn 到根号n 之间
void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){int s = 0;while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;cout << i << ' ' << s << endl;}if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; //这是说明结果是 类似于 86 =2*43 43不可再分了这种情况cout << endl;
}
朴素筛法求素数
时间复杂度: O(nlogn)
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (st[i]) continue;primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}
埃氏筛法求素数
时间复杂度: O(nloglogn)
int cnt; // 存储素数个数
bool hush[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
for(int i=2;i<=n;i++){if(!hush[i]){cnt++;for(int j=i+i;j<=n;j+=i) hush[j]=true;}}
线性筛法
868. 筛质数
你会发现: 用埃氏筛法的话，有一些数是筛了多遍的。
例： 6 用 2筛过一遍，用3又筛过一遍。
那么线性筛法就来了，它对于每一个数都只筛一遍是线性的，当要筛的数特别多的时候。
线性筛法几乎快埃氏筛法一倍的速度。
下面的总结来自于: Acwing的评论区，我从中摘抄了里面的精华。
线性筛法的原理:
- 核心:1~n内的合数只会被其最小质因子筛掉.
- 原理:1~n之内的任何一个合数一定会被筛掉,而且筛的时候只用最小质因子来筛,
然后每一个数都只有一个最小质因子,因此每个数都只会被筛一次,因此线性筛法是线性的.
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}
关于线性筛的解释:
枚举到i的最小质因子的时候就会停下来,即”if(i%primes[j]==0) break;”。
因为从小到大枚举的所有质数,所以当”i%primes[j]!=0”时,primes[j]一定小于i的最小质因子,
primes[j]一定是primes[j]i的最小质因子.
因为是从小到大枚举的所有质数,所以当”i%primes[j]==0”时,primes[j]一定是i的最小质因子,
而primes[j]又是primes[j]的最小质因子,因此primes[j]是iprimes[j]的最小质因子.
关于for循环的解释:
注:首先要把握住一个重点:我们枚举的时候是从小到大枚举的所有质数
- 1.当i%primes[j]==0时,因为是从小到大枚举的所有质数,所以primes[j]就是i的最小质因子,而primes[j]又是其本身
primes[j]的最小质因子,因此当i%primes[j]==0时,primes[j]是primes[j]i的最小质因子. - 2.当i%primes[j]!=0时,因为是从小到大枚举的所有质数,且此时并没有出现过有质数满足i%primes[j]==0,
因此此时的primes[j]一定小于i的最小质因子,而primes[j]又是其本身primes[j]的最小质因子,
所以当i%primes[j]!=0时,primes[j]也是primes[j]i的最小质因子. - 3.综合1,2得知,在内层for循环里面无论何时,primes[j]都是primes[j]i的最小质因子,因此”st[primes[j]i]=true”
语句就是用primes[j]i这个数的最小质因子来筛掉这个数.
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)不需要写成 for (int j = 0; j < cnt && primes[j] <= n / i; j ++)理由:
如果 i 是合数，那它有最小质因子 prime[j]，所以循环会在枚举到 prime[j] 时 break 掉；
如果 i 是质数，则由于上面刚把 i 加到了 primes 数组中，所以 prime[j] 枚举到最后一个时正好等于 i，
所以也会 break 掉。因此 j 不会大于等于当前的 cnt
试除法求所有约数
869. 试除法求约数
vector<int> get_divisors(int x)
{vector<int> res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);//避免 36 6*6 进入2个6的情况}sort(res.begin(), res.end());return res;
}
约数个数和约数之和
870. 约数个数
871. 约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
约数个数公式的解析:
约数之和公式解析:
欧几里得算法
872. 最大公约数
int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
求欧拉函数
873. 欧拉函数
int phi(int x)
{int res = x;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res = res / i * (i - 1);while (x % i == 0) x /= i;}if (x > 1) res = res / x * (x - 1);return res;
}
筛法求欧拉函数 【不熟】
874. 筛法求欧拉函数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉void get_eulers(int n)
{euler[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]){primes[cnt ++ ] = i;euler[i] = i - 1;}for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){int t = primes[j] * i;st[t] = true;if (i % primes[j] == 0){euler[t] = euler[i] * primes[j];break;}euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);}}
}
快速幂
875. 快速幂
876. 快速幂求逆元
迭代法:
求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。int qmi(int m, int k, int p)
{int res = 1 % p, t = m;while (k){if (k&1) res = res * t % p;t = t * t % p;k >>= 1;}return res;
}
递归法：
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll f(ll a,ll b,ll c)
{if(!b) return 1;ll res=f(a,b>>1,c);if(b&1) return a*res%c*res%c;else return res*res%c;
}
int main(void)
{int n; scanf("%d",&n);while(n--){ll a,b,c; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);cout<<f(a,b,c)<<endl;}return 0;
}
扩展欧几里得算法
877. 扩展欧几里得算法
878. 线性同余方程
中国剩余定理 【未解决】
204. 表达整数的奇怪方式
高斯消元 【不熟】
883. 高斯消元解线性方程组
884. 高斯消元解异或线性方程组
求组合数 【不熟】
885. 求组合数 I
886. 求组合数 II
887. 求组合数 III
888. 求组合数 IV
AcWing 889. 满足条件的01序列 【卡特兰数】
容斥定理 【不熟】
890. 能被整除的数
博弈论【不会】
891. Nim游戏
892. 台阶-Nim游戏
893. 集合-Nim游戏
894. 拆分-Nim游戏
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