文章目录

1.什么是聚类
2.K-Means步骤
3.K-Means的数学描述
4.初始中心点怎么确定
5.K值怎么确定
6.小结

1.什么是聚类

先来回顾一下本系列第一篇就讲到的机器学习的种类。

监督式学习：训练集有明确答案，监督学习就是寻找问题（又称输入、特征、自变量）与答案（又称输出、目标、因变量）之间关系的学习方式。监督学习模型有两类，分类和回归。

• 分类模型：目标变量是离散的分类型变量；
• 回归模型：目标变量是连续性数值型变量。

无监督学习：只有数据，无明确答案，即训练集没有标注目标变量。常见的无监督学习算法有聚类(clustering)，由计算机自己找出规律，把有相似属性的样本放在一组，每个小组也称为簇（cluster）。

最早的聚类分析是在考古分类、昆虫分类研究中发展起来的，目的是找到隐藏于数据中客观存在的“自然小类”，“自然小类”具有类内结构相似、类间结构差异显著的特点，通过刻画“自然小类”可以发现数据中的规律、揭示数据的内在结构。

之前一起学了回归算法中超级典型的线性回归，分类算法中非常难懂的SVM，这两都是有监督学习中的模型，那今天就来看看无监督学习中最最基础的聚类算法——K-Means Cluster吧。

2.K-Means步骤

K-Means聚类步骤是一个循环迭代的算法，非常简单易懂：

假定我们要对N个样本观测做聚类，要求聚为K类，首先选择K个点作为初始中心点；
接下来，按照距离初始中心点最小的原则，把所有观测分到各中心点所在的类中；
每类中有若干个观测，计算K个类中所有样本点的均值，作为第二次迭代的K个中心点；
然后根据这个中心重复第2、3步，直到收敛（中心点不再改变或达到指定的迭代次数），聚类过程结束。

以二维平面中的点Xi=(xi1,xi2),i=1,...,nX_{i}=(x_{i1},x_{i2}),i=1,...,nXi=(xi1,xi2),i=1,...,n为例，用图片展示K=2时的迭代过程：

现在我们要将(a)图中的n个绿色点聚为2类，先随机选择蓝叉和红叉分别作为初始中心点；
分别计算所有点到初始蓝叉和初始红叉的距离，Xi=(xi1,xi2)X_{i}=(x_{i1},x_{i2})Xi=(xi1,xi2)距离蓝叉更近就涂为蓝色，距离红叉更近就涂为红色，遍历所有点，直到全部都染色完成，如图(b)；
现在我们不管初始蓝叉和初始红叉了，对于已染色的红色点计算其红色中心，蓝色点亦然，得到第二次迭代的中心，如图(c )；
重复第2、3步，直到收敛，聚类过程结束。

怎么样，很简单吧？看完K-Means算法步骤的文字描述，我们可能会有以下疑问：

第一步中的初始中心点怎么确定？随便选吗？不同的初始点得到的最终聚类结果也不同吗？
第二步中点之间的距离用什么来定义？
第三步中的所有点的均值（新的中心点）怎么算？
K怎么选择？

3.K-Means的数学描述

我们先解答第2个和第3个问题，其他两个问题放到后面小节中再说。

聚类是把相似的物体聚在一起，这个相似度（或称距离）是用什么来度量的呢？这又得提到我们的老朋友——欧氏距离。

给定两个样本X=(x1,x2,...,xn)X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})X=(x1,x2,...,xn)与Y=(y1,y2,...,yn)Y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})Y=(y1,y2,...,yn)，其中n表示特征数，X和Y两个向量间的欧氏距离(Euclidean Distance)表示为：
disted(X,Y)=∣∣X−Y∣∣2=(x1−y1)2+...+(xn−yn)22dist_{ed}(X,Y)=||X-Y||_{2}=\sqrt[2]{(x_{1}-y_{1})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}disted(X,Y)=∣∣X−Y∣∣2=2(x1−y1)2+...+(xn−yn)2

k-means算法是把数据给分成不同的簇，目标是同一个簇中的差异小，不同簇之间的差异大，这个目标怎么用数学语言描述呢？我们一般用误差平方和作为目标函数（想想线性回归中说过的残差平方和、损失函数，是不是很相似），公式如下:

SSE=∑i=1K∑x∈Ci(Ci−x)2SSE=\sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in C_{i}}\left(C_{i}-x\right)^{2}SSE=i=1∑Kx∈Ci∑(Ci−x)2

其中C表示聚类中心，如果x属于Ci这个簇，则计算两者的欧式距离，将所有样本点到其中心点距离算出来，并加总，就是k-means的目标函数。实现同一个簇中的样本差异小，就是最小化SSE。

我们知道，可以通过求导来求函数的极值，我们对SSE求偏导看看能得到什么结果：
∂∂CkSSE=∂∂Ck∑i=1K∑x∈Ci(Ci−x)2=∑i=1K∑x∈Ci∂∂Ck(Ci−x)2=∑x∈Ci2(Ci−x)=0\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial C_{k}} S S E &=\frac{\partial}{\partial C_{k}} \sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in C_{i}}\left(C_{i}-x\right)^{2} \\ &=\sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in C_{i}} \frac{\partial}{\partial C_{k}}\left(C_{i}-x\right)^{2} \\ &=\sum_{x \in C_{i}} 2\left(C_{i}-x\right)=0 \end{aligned}∂Ck∂SSE=∂Ck∂i=1∑Kx∈Ci∑(Ci−x)2=i=1∑Kx∈Ci∑∂Ck∂(Ci−x)2=x∈Ci∑2(Ci−x)=0

∑x∈Ci2(Ci−x)=0⇒miCi=∑x∈Cix⇒Ci=1mi∑x∈Cix\sum_{x \in C_{i}} 2\left(C_{i}-x\right)=0 \Rightarrow m_{i} C_{i}=\sum_{x \in C_{i}} x \Rightarrow C_{i}=\frac{1}{m_{i}} \sum_{x \in C_{i}} xx∈Ci∑2(Ci−x)=0⇒miCi=x∈Ci∑x⇒Ci=mi1x∈Ci∑x

式中m是簇中点的数量，发现了没有，这个C的解，就是X的均值点。多点的均值点应该很好理解吧，给定一组点X1,...,XmX_{1},...,X_{m}X1,...,Xm，其中Xi=(xi1,xi2,...,xin)X_{i}=(x_{i1},x_{i2},...,x_{in})Xi=(xi1,xi2,...,xin)，这组点的均值向量表示为：
C=(x11+...+x1nm,...,xm1+...+xmnm)C=(\frac{x_{11}+...+x_{1n}}{m},...,\frac{x_{m1}+...+x_{mn}}{m})C=(mx11+...+x1n,...,mxm1+...+xmn)

4.初始中心点怎么确定

在k-means算法步骤中，有两个地方降低了SSE：

把样本点分到最近邻的簇中，这样会降低SSE的值；
重新优化聚类中心点，进一步的减小了SSE。

这样的重复迭代、不断优化，会找到局部最优解（局部最小的SSE），如果想要找到全局最优解需要找到合理的初始聚类中心。

那合理的初始中心怎么选？

方法有很多，譬如先随便选个点作为第1个初始中心C1，接下来计算所有样本点与C1的距离，距离最大的被选为下一个中心C2，直到选完K个中心。这个算法叫做K-Means++，可以理解为 K-Means的改进版，它可以能有效地解决初始中心的选取问题，但无法解决离群点问题。

我自己也想了一个方法，先找所有样本点的均值点，计算每个点与均值点的距离，选取最远的K个点作为K个初始中心。当然，如果样本中有离群点，这个方法也不佳。

总的来说，最好解决办法还是多尝试几次，即多设置几个不同的初始点，从中选最优，也就是具有最小SSE值的那组作为最终聚类。

5.K值怎么确定

要知道，K设置得越大，样本划分得就越细，每个簇的聚合程度就越高，误差平方和SSE自然就越小。所以不能单纯像选择初始点那样，用不同的K来做尝试，选择SSE最小的聚类结果对应的K值，因为这样选出来的肯定是你尝试的那些K值中最大的那个。

确定K值的一个主流方法叫“手肘法”。

如果我们拿到的样本，客观存在J个“自然小类”，这些真实存在的小类是隐藏于数据中的。三维以下的数据我们还能画图肉眼分辨一下J的大概数目，更高维的就不能直观地看到了，我们只能从一个比较小的K，譬如K=2开始尝试，去逼近这个真实值J。

当K小于样本真实簇数J时，K每增大一个单位，就会大幅增加每个簇的聚合程度，这时SSE的下降幅度会很大；
当K接近J时，再增加K所得到的聚合程度回报会迅速变小，SSE的下降幅度也会减小；
随着K的继续增大，SSE的变化会趋于平缓。

例如下图，真实的J我们事先不知道，那么从K=2开始尝试，发现K=3时，SSE大幅下降，K=4时，SSE下降幅度稍微小了点，K=5时，下降幅度急速缩水，再后面就越来越平缓。所以我们认为J应该为4，因此可以将K设定为4。

叫“手肘法”可以说很形象了，因为SSE和K的关系图就像是手肘的形状，而肘部对应的K值就被认为是数据的真实聚类数。

当然还有其他设定K值的方法，这里不赘述，总的来说还是要结合自身经验多做尝试，要知道没有一个方法是完美的。

而且，聚类有时是比较主观的事，比如下面这组点，真实簇数J是几呢？我们既可以说J=3，也可以就把它分成2个簇。

6.小结

K-Means优点在于原理简单，容易实现，聚类效果好。

当然，也有一些缺点：

K值、初始点的选取不好确定；
得到的结果只是局部最优；
受离群值影响大

每个算法都有自己的特点，所以要多学习，掌握不同算法的逻辑、作用、应用场景和优缺点。这样的话，在需要解决实际问题时，就容易结合自身经验，选出最合适的算法模型来达到自己的目标。

参考链接：

k-means算法原理以及数学知识
K-means聚类最优k值的选取

本文首发于知乎：机器学习笔记04-KMeans

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