协同控制笔记1——基础介绍及部分定义定理

一.基础介绍

协同控制主要涉及三个部分：
智能体动力学、智能体间相互作用、协同控制规律

相互作用：智能体通常动力学上彼此解耦。之间的信息交换通常以图的形式表示，可以是静态的（边非时变）或者动态的（边是时变的）。

二.相关定义

符号	含义
R^(n×n)	实数矩阵
C^(n×n)	复数矩阵
R+	正实数集合
上标H	复矩阵的共轭转置
1	所有元素为1的列向量
Re(s) Im(s)	S的实部、虚部
diag(A1, …,An)	对角矩阵
det(A)	A的行列式
λmin(A) λmax(A)	A特征值的最小、最大值
Range(A)	A的列空间
X>(>=)Y,X，Y实对称	X-Y 是正（半）定的

Adjacency matrix - 邻接矩阵

<x,y>：有向边任意两顶点间的边均是有向边，则为有向图

邻接：表示顶点间的关系。若图含（x，y），则顶点x与顶点y邻接。

邻接矩阵：表示有向图的一种存储方法

用两个数组：一维数组存储顶点信息，二维数组存储弧/线的信息。

图有n个顶点，则邻接矩阵是n*n的方阵，

无向图(undigraph)的邻接矩阵：两个顶点有边为1，否则为0，主对角线为0，且矩阵对称

有向图(digraph)的邻接矩阵：两个顶点有边为1，否则为0，主对角线为0，矩阵不对称

网图(network)的邻接矩阵：表中对应位置写图中弧的权重，主对角线为0，其余部分取INF

Laplacian matrix – 拉普拉斯矩阵

L为拉普拉斯矩阵，L=图的度矩阵-图的邻接矩阵

度矩阵(degree)：对角阵，对角上的元素为各个顶点的度。有向图中，顶点vi的度分为顶点vi的出度和入度，即从顶点vi出去的有向边的数量和进入顶点vi的有向边的数量。

在求L时根据情况选择出度矩阵或入度矩阵。

性质：矩阵是正半定的；行和为0，最小特征值为0，对应特征向量为全1列向量；特征值中0出现的次数即图连通区域的个数；最小特征值为0，对应特征向量为全1列向量

L的所有非零特征值都位于以dmax为圆心、半径为dmax的复平面上的一个圆盘内，其中dmax为所有节点的最大入度。
拉普拉斯矩阵L是一个奇异的M-矩阵。

Kronecker product - 克罗内克积（是张量积的特殊形式）

定义：A：mn, B:pq → A⊗B是mp*nq的分块矩阵

符合结合律，不符合交换律，有混合乘积、逆、转置的定理

克罗内克和：A：nn B:mm I:单位阵 → A⊕B=A⊗Im+In⊗B

三.相关定理

矩阵	结论	条件	其他
A∈C^(n×n)	连续时间意义上是自然稳定的	特征值：没有正实部; 并且虚轴上任意特征值所对应的约当块的大小为1	所有特征值都具有严格负实部，则为Hurwitz
A∈C^(n×n)	离散时间意义上是自然稳定的	特征值：全小于等于1; 任意单位大小的特征值所对应的约当块的大小为1	舒尔稳定：所有特征值小于1
A∈R^(n×n)	A：埃米尔特矩阵（自共轭）	A=A^(H)	对称矩阵：实埃米尔特矩阵
A∈R^(n×n)	A：酉矩阵	AA^(H)= A^(H)A=I	正交阵：实酉矩阵
P∈R^(n×n)	P是子空间S的正交投影	range(P ) = S, P^(2)= P , and P^(T) = P	子空间上的正交投影是唯一的
A∈R^(n×n)	A：奇异 M-矩阵	非对角线元素是非正的； A所有特征值有非负实部
C是真实向量空间Vs⊆R^§中的集合	集合C为凸	对于C中的任意x和y，对于任意z∈[0,1]，点(1−z)x + zy在C中	V中X = {x1，··，xn}点集的凸壳是包含X中所有点的极小凸集