项链分赃问题与Borsuk-Ulam定理

由于连续版本的项链分赃问题如果证明能实现，则离散版本也能实现，下面只考虑连续版本。

如果项链只有两种宝石，且长度为1，那么等于找一个数对(a,b,c)

使得a+b+c=1，且关于小偷1的两种宝石的数量(x,y)可记为(a,b,c)的一个变换A。

即 $(m,n)=A(a,b,c)$

不难看出A是连续变换。

进一步的，可以设 $a=x^2,b=y^2,c=z^2$ 。

也就是将方案 $(a,b,c)$ 映射到了球面上，且x>0时，规定a代表的线段分给小偷1。

由此，球面上的一点就对应了一种分赃方案，而 $(m,n)=A(x^2,y^2,z^2)=B(x,y,z)$ 是一个连续变换。

由Borsuk-Ulam定理可知，存在x0,y0,z0使得： $B(x_0,y_0,z_0)=B(-x_0,-y_0,-z_0)$

因此，方案(x0,y0,z0)可使得小偷1和小偷2的两种宝石的数量分别相同。

也就证明了，n=2时的项链分赃问题。

即最多通过2刀，可使得小偷1、2拿到相同数量的同种宝石。

n>2时的情形，可由任意维度的Borsuk-Ulam定理解决。

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