传送门

Description

Let \((1+\sqrt2)^n=e(n)+f(n)\cdot\sqrt2\) , both \(e(n)\) and \(f(n)\) are integers

Let \(g(n)\) be the gcd of \(f(1),f(2),...,f(n)\)

given \(n\), \(p\), where \(p\) is a prime number

Calculate the value of 
\[  \sum_{i=1}^{n}i\cdot g(i) \ \ \ \ mod \ p \]
 \(T\leq 210 ,\sum n\leq 3×10^6\)

Solution

\[ f(n)=2f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=1 \]

Similar to the \(Fibonacci\) sequence, we have
\[  gcd(f(a),f(b))=f(gcd(a,b)) \]
 It's hard to evaluate LCM directly,but we can get it by maximum inversion
\[  lcm(S)=\prod_{T⊆S,T≠∅}gcd(T)^{(−1)^{|T|−1}} \]
 so we can find that
\[  g(n)=\prod_{T⊆S,T≠∅}f(gcd(T))^{(−1)^{|T|−1}} \]
 The next step is the most important.

construct a function \(h\) ,which satisfies
\[  f(n)=\prod_{d|n}h(d) \]
 we can calculate \(h(1...n)\) easily by \(O(n\log n)\)

and 
\[  \begin{equation}  \begin{split}  g(n)&=\prod_{d=1}^n h(d)^{∑_{T⊆S,T≠∅,d|gcd(T)}(−1)^{|T|+1}}\\  &=\prod_{d=1}^nh(d)  \end{split}  \end{equation} \]

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define reg register
#define db double
using namespace std;
inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
const int MN=1e6+5;
int f[MN],h[MN],n,P,ans;
int Mul(int x,int y){return 1ll*x*y%P;}
int Add(int x,int y){return (x+y)%P;}
int fpow(int x){int r=1,m=P-2;for(;m;m>>=1,x=Mul(x,x))if(m&1)r=Mul(r,x);return r;}
int main()
{int T=read();while(T--){n=read(),P=read();reg int i;f[0]=0;h[0]=h[1]=f[1]=1;for(i=2;i<=n;++i) h[i]=1,f[i]=Add(Mul(f[i-1],2),f[i-2]);for(i=2;i<=n;++i){h[i]=Mul(f[i],fpow(h[i]));for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) h[j]=Mul(h[j],h[i]);}for(ans=0,i=1;i<=n;++i) h[i]=Mul(h[i],h[i-1]),ans=Add(ans,Mul(h[i],i));printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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