To the MAX（蓝书刷题记录）

问题描述：给定一个 n*n 的矩阵，求最大子矩阵。
引发一个专题：
求最大子矩阵的方法。
方法一：最朴素的算法可以是枚举两个端点，在对其求和。复杂度O(n^6) hloj 1935护林员盖房子
方法二：预处理出前缀和 sum[i][j]表示由(1,1) 到 (i,j) 的和。
所以由 (x1,y1) 到(x2,y2) 可以O(1) 求。即为 sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1] 。可以画图理解。 复杂度 O(n^4)
代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int n;
int a[500][500],sum[500][500],temp[500];
int ans=-1;
// x1 y1--->x2 y2   sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]
inline int cal(int x1,int y1,int x2,int y2){ return sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];}
int main()
{  cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]),sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]; for(int x2=1;x2<=n;x2++)for(int y2=1;y2<=n;y2++){for(int x1=1;x1<=x2;x1++)for(int y1=1;y1<=y2;y1++)ans=max(ans,cal(x1,y1,x2,y2));}cout<<ans;return 0;
}

方法三：考虑对于二维的数组进行压缩。枚举行i 和 j 。这两行之间的数压缩成 temp[k] 表示第k列上 i 到 j 的和。所以temp[] 的最大连续和即为最大子矩阵。需要预处理出sum[i][j] 表示第i 列上的前缀和。复杂度 O(n^3)
代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int n;
int a[500][500],sum[500][500],temp[500];
int ans=-1;
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)  for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);for(int j=1;j<=n;j++)for(int i=1;i<=n;i++)sum[j][i]=sum[j][i-1]+a[i][j];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++) temp[k]=sum[k][j]-sum[k][i-1];int s=0;for(int i=1;i<=n;i++){s+=temp[i];if(s>ans) ans=s;if(s<0) s=0;    }}cout<<ans;return 0;
}

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