(一)问题

九宫格图案解锁连接9个点共有多少种方案？

(二)初步思考

可以把问题抽象为求满足一定条件的1-9的排列数(类似于“八皇后问题”)，例如123456789和987654321都是合法的(按照从上到下、从左到右、从1到9编号)，解决此类问题一般都用递归方法，因为问题规模较大，且没有明确的计算方法

(三)深度思考

不难想出下面的简单思路：

1.先穷举，再排除不合法结果(过滤穷举的结果)

大略估计一下复杂度，A99=362880(计算机应该可以接受)，方案总数不超过A99，也就是说穷举的结果是A99，再滤去不合法的结果即可，理论上此方法可行

2.按条件穷举(在穷举的过程中排除不合法结果)

1>正常思维

---a.选择起点位置(i,j)

---b.在起点周围寻找合法终点，规则如下：(共有12个方向)

------1.上(i - 1, j)--5.左上斜(i - 1, j - 1)---9.左上长斜(i - 2, j - 1)

------2.下(i + 1, j) -6.左下斜(i + 1, j - 1) -10.左下长斜(i + 2, j - 1)

------3.左(i, j - 1)--7.右上斜(i - 1, j + 1)--11.右上长斜(i - 2, j + 1)

------4.右(i, j + 1) -8.右下斜(i + 1, j + 1)-12.右下长斜(i + 2, j + 1)

---c.记录路径(起点 + 终点)

---d.判满，若路径长度小于9执行e步骤，否则执行f步骤

---e.终点变起点，返回a步骤

---f.输出结果(路径)

2>逆向思维

---a.排除(1.排除已选择的点2.排除从起点不能到达的点)得到临时剩余点集

---b.在临时剩余点集中选择下一个点

---c.判满，路径长度小于9，执行d步骤，否则执行e步骤

---d.执行a步骤

---e.输出结果(路径)

P.S.正常思维比较容易理解，逆向思维更容易实现

(四)编码

[最初想用方案2的逆向思维方案来实现，结果失败了，原因是递归内嵌循环，程序执行轨迹难以捉摸...头疼良久之后放弃了，改用方案1，简单粗暴]

[核心代码类]

import java.util.ArrayList;

import java.util.Arrays;

import java.util.List;

public class ScreenLock {

//将NUM设置为待排列数组的长度即实现全排列

private int NUM = 0;

private int count = 0;

private String[] strSource;

String string = null;

private static String[] wrongPos = {//各点对应的不能到达的位置

"379","8","179",

"6","#","4",

"139","2","137"};

public ScreenLock(String[] strSource)

{//strSource格式为以逗号分隔的数字串，如1,2,3,4

//初始化

this.strSource = strSource;

this.NUM = strSource.length;

}

public int getCount()

{

sort(Arrays.asList(strSource), new ArrayList());

return count;

}

private void sort(List datas, List target) {

if (target.size() == NUM) {

StringBuilder sb = new StringBuilder();

for (Object obj : target)

sb.append(obj);

String ans = sb.toString();

if(isValid(ans))

count++;

return;

}

for (int i = 0; i < datas.size(); i++) {

List newDatas = new ArrayList(datas);

List newTarget = new ArrayList(target);

newTarget.add(newDatas.get(i));

newDatas.remove(i);

sort(newDatas, newTarget);

}

}

private boolean isValid(String ans)

{//判断ans是否合法

for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)

{

//获取当前位置的字符的值

int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");

//获取路径子串

String path = ans.substring(0, i + 1);

//获取错误值

String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];

//获取可变错误值

if(currPos != 5)//5不可能变

{

for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)

{

//获取中间值

String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";

int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;

//若中间值已被连接，则错误终点可用

if(path.contains(mid + ""))

wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");

//若下一位是错误值则ans不合法

if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))

return false;

}

}

}

return true;

}

}

[测试类]

public class CountLockPlans {

public static void main(String[] args) {

//计算手机九宫格锁屏图案连接9个点的方案总数

String s = "1,2,3,4,5,6,7,8,9";

String[] str = s.split(",");

ScreenLock lock = new ScreenLock(str);

int num = lock.getCount();

System.out.println("连接9个点共有 " + num + " 种方案");

}

}

(五)运行结果

连接9个点共有 62632 种方案【此结果是错的，详情见最下方第(十)点】

(六)程序正确性检验

1.能否生成1-9的全排列？

注释掉无关代码，直接输出所有全排列，同时计数，结果无误(全部输出需要17秒左右)

2.isValid()方法是否能够正确判断方案的合法性？

单独调用isValid()传入各种参数测试，结果无误

3.算法逻辑是否无误？

求排列的同时过滤不合法解，逻辑无误

[综上，理论上输出的结果是正确的]

(七)答案正确性确认

上网找找有没有人算出结果，滤去所有看起来不靠谱的答案，选定果壳网答案(据说用了Mathematica，乍看高上大)

文章中的解决思路也是：合法方案数 = 全排列总数 - 不合法方案数

仔细看过文章后发现原文的结论可能是错的(虽然不知道其具体算法)

1.从原文的贴图可以看到先求出了方案总数985 824(这个我们不必关心，只需要关注连接9个点的计算结果就好)

2.原文贴图记下不能直接连的点对(和我们的wrongPos数组作用类似，用来排除)

3.接着往下看是：根据上一步的点对生成所有不合法方案(仍然不知道具体是怎么算的，但是这里肯定存在漏洞)

原作者的思路应该是按照相邻点来判断生成不合法方案(例如：假设第一位是1那么如果第二位选择3，则以13开头的所有方案全部PASS掉)

不难发现这样一个BUG：第一位选择2，第二位选择1，那么第三位能不能选择3呢？

实际情况是Yes，但如果按照上面假设的判断方法则是No，因为(1,3)属于不合法点对！

这就又出现新问题了，因为我们发现所谓的不合法点对好像是一个动态的集合，如果中间点被选了，那么非法点对就变成合法的了(例如2被选了之后1可以和3连接，3和1也可以连接)

我们的算法会不会存在这个问题呢？

private boolean isValid(String ans)

{//判断ans是否合法

for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)

{

//获取当前位置的字符的值

int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");

//获取路径子串

String path = ans.substring(0, i + 1);

//获取错误值

String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];

//获取可变错误值

if(currPos != 5)//5不可能变

{

for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)

{

//获取中间值

String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";

int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;

//若中间值已被连接，则错误终点可用

if(path.contains(mid + ""))

wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");

//若下一位是错误值则ans不合法

if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))

return false;

}

}

}

return true;

}

从上面的代码不难看出我们的算法已经考虑到了这样的情况(动态修正wrrPos)

(八)思考延伸

按照这样的方法，我们不难算出一共有多少种方案(从四个点到九个点)，在此作简单分析：

1>9个点和8个点的数目应该相等(前8位数都定了，最后一位也就不能变了)

2>9个点和7个点的数目应该是2倍关系(前7位数定了，后两位只有两种排列方式，如果去掉后2位则前7位数有一半重复了)

...

设总方案数为 num，连接 i 个点的方案总数为 n( i )，例如n( 9 ) = 62632

则：1式：num = n( 4 ) + n( 5 ) + n( 6 ) + n( 7 ) + n( 8 ) + n( 9 )

2式：n( 8 ) = n( 9 ), n( 7 ) = n( 9 ) / 2, n( 6 ) = n( 9 ) / 6, n( 5 ) = n( 9 ) / 24, n( 4 ) = n( 9 ) / 120 [规律：n( i ) = n( 9 ) / A(9 - i)(9 - i)]

把2式带入1式即可求得方案总数，在此不再赘述

(九)总结

探索过程中虽然走了很多弯路，但也有不少收获，例如动态不合法判断的BUG是在尝试方案2时发现的，虽然方案2失败了，但避免了在方案1中出现类似的问题

只要思路明晰，敢于尝试，绝对没有plain try

(十)BUG修正

文中对果壳网算法提出的质疑是错误的，原文结果是对的

经过验证，本文算法存在BUG，信息如下：

当前路径是 12345687

错误原因是下一位 9被错误值#39包含

错误串为 123456879

BUG分析：出现这个BUG的原因是对自己的算法太过自信，设计算法的时候过分考虑了算法复杂度，省掉了一个不能省的循环(应该先动态修改wrrPos再对结果进行判断，原算法把二者放在一个循环里了)

现对isValid方法修改如下：

private static boolean isValid(String ans)

{//判断ans是否合法

for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)

{

//获取当前位置的字符的值

int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");

//获取路径子串

String path = ans.substring(0, i + 1);

//获取错误值

String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];

//获取可变错误值

if(currPos != 5)//5不可能变

{

for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)

{

//获取中间值

String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";

int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;

//若中间值已被连接，则错误终点可用

if(path.contains(mid + ""))

wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");

}

//若下一位是错误值则ans不合法

if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))

return false;

}

}

return true;

}

[与原算法唯一的区别是把if判断语句从循环里拿出来了，当时想法是为了节省一个循环...结果，哎...]

修正后运行结果：

连接9个点共有 140704 种方案

结论：果壳网的结论是正确的！之前对其内部算法的猜测可能有误，实属抱歉。