密码学基础上机实验4 ElGamal的Python实现（求解原根）

from gmpy2 import *
from Crypto.Util.number import *
from random import randint
from math import sqrt, floor
import os# p-1的代表性的非平凡因子
def factor(p):# 用yafu获取所有素因子path="path/yafu-x64.exe"n=p-1l=[]while(n!=1):output=os.popen(path+" \"factor("+str(n)+")\"")output=output.read()output=output.split("***factors found***\n\n")[1]output=output.split("\n\nans = 1")[0]output=output.split("\n")for line in output:factor=int(line.split(" = ")[1])l.append(factor)n//=factorl=list(set(l)) # 去除重复元素result=[(p-1)//i for i in l]return result# 计算原根
def primitive_root(p):l=factor(p)flag=Truefor i in range(2,p):for j in l:if pow(i,j,p)==1:flag=Falsebreakif flag==False:flag=Truecontinueelse:return i# Gen
p = getPrime(256) # 512
g = primitive_root(p)
d = randint(1,p-2)
y = pow(g,d,p)
# pub_key = (p,g,y) pri_key = d# string to long
m = "message"
m = m.encode("utf-8")
m = bytes_to_long(m)# Enc
e = randint(1,p-2)
c1 = pow(g,e,p)
c2 = (m*pow(y,e,p))%p
# c = (c1,c2)# Dec
z = pow(c1,d,p)
z = invert(z,p)
m = (c2*z)%p# long to string
m = long_to_bytes(m)
m = m.decode("utf-8")
print(m)

主要记录一下原根的求解（代码中的primitive_root函数）。原根的阶是φ(p)，遍历2到p，检验阶数是否等于φ(p)=p-1即可。又根据性质：任意正整数的阶整除φ(p)，只要逐个检验p-1的因子是否是正整数的阶即可。又因为如果n的阶为a，那么n^(ka)=1 (mod p)，所以在知道p-1的所有素因子i时，只要检查每个(p-1)//i即可。
比如p=31，p-1的因子有[2,3,5]，此时只要检测n的[15,10,6]次方，就能确定n是不是原根了。
对于p-1的素因子的求解，因为p有256位，遍历 p − 1 \sqrt{p-1} p−1 是不现实的。于是我使用了yafu这个工具，可以在1秒以内分解完p-1。需要注意：这个工具要自己安装；使用循环是因为yafu没有把所有素因子都给出来（可能我调用得不对），需要多次（大概2次）调用。

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