Loj #2585. 「APIO2018」新家

题目描述

五福街是一条笔直的道路，这条道路可以看成一个数轴，街上每个建筑物的坐标都可以用一个整数来表示。小明是一位时光旅行者，他知道在这条街上，在过去现在和未来共有 \(n\) 个商店出现。第 \(i\) 个商店可以使用四个整数 \(x_i, t_i, a_i, b_i\) 描述，它们分别表示：商店的坐标、商店的类型、商店开业的年份、商店关闭的年份。

小明希望通过时光旅行，选择一个合适的时间，住在五福街上的某个地方。他给出了一份他可能选择的列表，上面包括了 \(q\) 个询问，每个询问用二元组（坐标，时间）表示。第 \(i\) 对二元组用两个整数 \(l_i, y_i\) 描述，分别表示选择的地点 \(l_i\) 和年份 \(y_i\) 。

现在，他想计算出在这些时间和地点居住的生活质量。他定义居住的不方便指数为：在居住的年份，离居住点最远的商店类型到居住点的距离。类型 \(t\) 的商店到居住点的距离定义为：在指定的年份，类型 \(t\) 的所有营业的商店中，到居住点距离最近的一家到居住点的距离。我们说编号为 \(i\) 的商店在第 \(y\) 年在营业当且仅当 \(a_i \leq y \leq b_i\) 。注意，在某些年份中，可能在五福街上并非所有 \(k\) 种类型的商店都有至少一家在营业。在这种情况下，不方便指数定义为 −1。你的任务是帮助小明求出每对（坐标，时间）二元组居住的不方便指数。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n\) ， \(k\) 和 \(q\)，分别表示商店的数量、商店类型的数量和（坐标，时间）二元组的数量。\((1\leq n,q\leq 3\times 10^5,1\leq k \leq n)\)

接下来 \(n\) 行，每行包含四个整数 \(x_i, t_i, a_i\), 和 \(b_i\) 用于描述一家商店，意义如题面所述\((1\leq x_i,a_i,b_i \leq 10^9,1\leq t_i \leq k,a_i \leq b_i)\)

接下来 \(q\) 行，每行包含两个整数 \(l_i\), 和 \(y_i\) ，表示一组（坐标，时间）查询\((1\leq l_i,y_i \leq 10^8)\)

输出格式

对于每组询问输出一个整数，包含\(q\)个整数，依次表示对于 \(q\) 组（坐标，时间）询问求出的结果。

数据范围与提示

子任务 1（5 分）：\(n,q\leq 400\)

子任务 2（7 分）：\(n,q\leq 6\times 10^4,k\leq 400\)

子任务 3（10 分）：\(n,q\leq 3\times 10^5\)，对于所有的商店\(a_i=1,b_i=10^8\)

子任务 4（23 分）：\(n,q\leq 3\times 10^5\)，对于所有的商店\(a_i=1\)

子任务 5（35 分）：\(n,q\leq 6\times 10^4\)

子任务 6（20 分）：\(n,q\leq 3\times 10^5\)

先按时间排序，然后一个房子会加入一次，删除一次。

询问的时候可以二分一个答案。假设位置是\(x\)，二分的答案是\(mid\)，那么如果\([l-mid,l+mid]\)之间\(k\)种商店都出现了则是一个合法情况。我们对每个商店，记录与它种类相同的前一个商店\(pre_i\)。如果坐标在\([l+mid+1,\infty]\)之间的所有商店满足\(pre_i\geq l-mid\)，那么就合法，否则一定不合法。所以我们要维护区间所有商店的\(pre\)的最小值。

因为还有删除操作，所有对于线段树上每个点开一个\(multiset\)。

把坐标离散一下（其实也可以不离散），再对于每个种类加入坐标\(-\infty\)和\(\infty\)。

复杂度瓶颈\(O(Mlog^2N)\)，其实可以将二分变成线段树上二分做到一个\(log\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 300005using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}int n,k,m;
struct house {int x,t,a,b;
}s[N];struct query {int x,t;
}q[N];
int T;
vector<ll>P;
int Find(ll p) {return upper_bound(P.begin(),P.end(),p)-P.begin()-1;}
const ll INF=2e9+233;
void discrete() {static vector<int>d;for(int i=1;i<=n;i++) {d.push_back(s[i].a);d.push_back(s[i].b);P.push_back(s[i].x);}for(int i=1;i<=m;i++) d.push_back(q[i].t);P.push_back(INF),P.push_back(-INF);sort(d.begin(),d.end());d.resize(unique(d.begin(),d.end())-d.begin());sort(P.begin(),P.end());P.resize(unique(P.begin(),P.end())-P.begin());T=d.size();for(int i=1;i<=n;i++) {s[i].a=lower_bound(d.begin(),d.end(),s[i].a)-d.begin()+1;s[i].b=lower_bound(d.begin(),d.end(),s[i].b)-d.begin()+1;s[i].x=lower_bound(P.begin(),P.end(),s[i].x)-P.begin();}for(int i=1;i<=m;i++) {q[i].t=lower_bound(d.begin(),d.end(),q[i].t)-d.begin()+1;}
}int rt;
int ls[N*8],rs[N*8];
int lx=1,rx=1e9;
multiset<int>::iterator it;
multiset<int>st[N*8];
int mn[N*8];
int tot;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pr pair<int,int>
vector<pr>add[N<<2],del[N<<2];
vector<pr>que[N<<2];
int size[N],appear;
int ans[N];int New() {++tot;mn[tot]=P.size()-1;return tot;
}void update(int v) {int L=ls[v]?mn[ls[v]]:P.size()-1;int R=rs[v]?mn[rs[v]]:P.size()-1;mn[v]=min(L,R);
}void Insert(int &v,int lx,int rx,int p,int val,int flag) {if(!v) v=New();if(lx==rx) {if(flag==1) {st[v].insert(val);} else {st[v].erase(st[v].find(val));}if(st[v].size()) mn[v]=*st[v].begin();else mn[v]=P.size()-1;return ;}int mid=lx+rx>>1;if(p<=mid) Insert(ls[v],lx,mid,p,val,flag);else Insert(rs[v],mid+1,rx,p,val,flag);update(v);
}int query(int v,int lx,int rx,int l,int r) {if(!v) return P.size()-1;int ans=mn[v];if(l<=lx&&rx<=r) {return ans;}int mid=lx+rx>>1;if(r<=mid) return query(ls[v],lx,mid,l,r);else if(l>mid) return query(rs[v],mid+1,rx,l,r);else return min(query(ls[v],lx,mid,l,r),query(rs[v],mid+1,rx,l,r));
}struct node {multiset<int>pos;void Get_segment(ll l,ll r,int flag) {Insert(rt,lx,rx,r,l,flag);}void Add(int p) {if(pos.find(p)==pos.end()) {it=pos.lower_bound(p);int r=*it;int l=*(--it);Get_segment(l,r,-1);Get_segment(l,p,1);Get_segment(p,r,1);}pos.insert(p);}void Del(int p) {pos.erase(pos.find(p));if(pos.find(p)==pos.end()) {it=pos.lower_bound(p);ll r=*it;ll l=*(--it);Get_segment(l,p,-1);Get_segment(p,r,-1);Get_segment(l,r,1);}}void Init() {pos.insert(0);pos.insert(P.size()-1);Get_segment(0,P.size()-1,1);}
}coor[N];int solve(int p) {int l=0,r=1e9,mid;while(l<r) {mid=l+r>>1;int R=lower_bound(P.begin(),P.end(),p+mid+1)-P.begin();if(P[query(rt,lx,rx,R,P.size()-1)]>=p-mid) r=mid;else l=mid+1;}return l;
}int main() {n=Get(),k=Get(),m=Get();for(int i=1;i<=n;i++) {s[i].x=Get();s[i].t=Get();s[i].a=Get();s[i].b=Get();}for(int i=1;i<=m;i++) {q[i].x=Get(),q[i].t=Get();}discrete();lx=0,rx=P.size()-1;for(int i=1;i<=n;i++) {add[s[i].a].push_back(mp(s[i].x,s[i].t));del[s[i].b].push_back(mp(s[i].x,s[i].t));}for(int i=1;i<=m;i++) {que[q[i].t].push_back(mp(q[i].x,i));}for(int i=1;i<=k;i++) coor[i].Init();for(int i=1;i<=T;i++) {for(int j=0;j<add[i].size();j++) {size[add[i][j].second]++;if(size[add[i][j].second]==1) appear++;coor[add[i][j].second].Add(add[i][j].first);}if(appear<k) {for(int j=0;j<que[i].size();j++) {ans[que[i][j].second]=-1;}} else {for(int j=0;j<que[i].size();j++) {ans[que[i][j].second]=solve(que[i][j].first);}}for(int j=0;j<del[i].size();j++) {size[del[i][j].second]--;if(size[del[i][j].second]==0) appear--;coor[del[i][j].second].Del(del[i][j].first);}}for(int i=1;i<=m;i++) {cout<<ans[i]<<"\n";}return 0;
}