jzoj 5970.【北大2019冬令营模拟12.1】space 莫比乌斯反演

Description

Input

Output

Sample Input
2
1 2
2 1
1 2
2 1

Sample Output
24

样例解释：

Data Constraint

分析：
对于每一维都是若干环。因为每一个维互相独立，我们每一维选了一个环，大小为 i i i， j j j， k k k， l l l，走回原点的步数是 l c m ( i , j , k , l ) lcm(i,j,k,l) lcm(i,j,k,l)。而总共的点数是 i ∗ j ∗ k ∗ l i*j*k*l i∗j∗k∗l，所以跳环要用 i ∗ j ∗ k ∗ l l c m ( i , j , k , l ) \frac{i*j*k*l}{lcm(i,j,k,l)} lcm(i,j,k,l)i∗j∗k∗l。
我们只需找出跳环的步数，最后加上 n 4 n^4 n4即可。
设 A [ i ] A[i] A[i]为第一维，大小为 i i i的环的数目， B [ i ] , C [ i ] , D [ i ] B[i],C[i],D[i] B[i],C[i],D[i]同理，而跳环步数可以表示成，
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∑ l = 1 n i ∗ j ∗ k ∗ l l c m ( i , j , k , l ) ∗ A [ i ] ∗ B [ j ] ∗ C [ k ] ∗ D [ l ] \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\frac{i*j*k*l}{lcm(i,j,k,l)}*A[i]*B[j]*C[k]*D[l] i=1∑nj=1∑nk=1∑nl=1∑nlcm(i,j,k,l)i∗j∗k∗l∗A[i]∗B[j]∗C[k]∗D[l]
因为不同的个数只有 n \sqrt{n} n 个，这样做是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的。
而因为，
i ∗ j ∗ k ∗ l l c m ( i , j , k , l ) = l c m ( i , j ) ∗ l c m ( k , l ) l c m ( i , j , k , l ) ∗ i ∗ j l c m ( i , j ) ∗ k ∗ l l c m ( k , l ) \frac{i*j*k*l}{lcm(i,j,k,l)}=\frac{lcm(i,j)*lcm(k,l)}{lcm(i,j,k,l)}*\frac{i*j}{lcm(i,j)}*\frac{k*l}{lcm(k,l)} lcm(i,j,k,l)i∗j∗k∗l=lcm(i,j,k,l)lcm(i,j)∗lcm(k,l)∗lcm(i,j)i∗j∗lcm(k,l)k∗l
也就是
g c d ( i , j ) ∗ g c d ( k , l ) ∗ g c d ( l c m ( i , j ) , l c m ( k , l ) ) gcd(i,j)*gcd(k,l)*gcd(lcm(i,j),lcm(k,l)) gcd(i,j)∗gcd(k,l)∗gcd(lcm(i,j),lcm(k,l))
设 x = l c m ( i , j ) x=lcm(i,j) x=lcm(i,j)， y = l c m ( k , l ) y=lcm(k,l) y=lcm(k,l)，
可以看做有 g c d ( i , j ) gcd(i,j) gcd(i,j)个 x x x和 g c d ( k , l ) gcd(k,l) gcd(k,l)个 y y y然后求 g c d gcd gcd和。
我们可以设一个 l i m lim lim，大于 l i m lim lim的部分直接暴力，小于 l i m lim lim的用反演。
l i m ≈ 1 0 6 lim≈10^6 lim≈106

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#define LL long longconst int maxn=1e5+7;
const int maxp=1e6;
const LL mod=998244353;using namespace std;int n,cnt;
int a[maxn],vis[maxn];
int prime[maxp+7],not_prime[maxp+7],phi[maxp+7];
LL ans;
LL F[maxp+7],G[maxp+7],sum[maxp+7];struct rec{LL x,y;
};struct node{vector <rec> A,B;
}cir[4];void getphi(int n)
{phi[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){if (!not_prime[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for (int j=1;j<=cnt;j++){if (i*prime[j]>n) break;not_prime[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}
}LL gcd(LL x,LL y)
{LL r=x%y;while (r){x=y;y=r;r=x%y;}return y;
}LL lcm(LL x,LL y)
{return x*y/gcd(x,y);
}void merge(node &a,node b)
{memset(sum,0,sizeof(sum)); for (int i=0;i<a.A.size();i++){for (int j=0;j<b.A.size();j++){LL x=gcd(a.A[i].x,b.A[j].x),y=lcm(a.A[i].x,b.A[j].x);LL z=a.A[i].y*b.A[j].y%mod*x%mod;if (y<=maxp) sum[y]=(sum[y]+z)%mod;else a.B.push_back((rec){y,z});}}a.A.clear();for (int i=1;i<=maxp;i++){if (sum[i]) a.A.push_back((rec){i,sum[i]});}
}void getans(node a,node b)
{for (int i=0;i<a.A.size();i++) F[a.A[i].x]=(F[a.A[i].x]+a.A[i].y)%mod;for (int i=0;i<b.A.size();i++) G[b.A[i].x]=(G[b.A[i].x]+b.A[i].y)%mod;for (int i=1;i<=maxp/2;i++){for (int j=i+i;j<=maxp;j+=i){F[i]=(F[i]+F[j])%mod;G[i]=(G[i]+G[j])%mod;}}           for (int i=1;i<=maxp;i++) ans=(ans+F[i]*G[i]%mod*(LL)phi[i]%mod)%mod;  for (int i=0;i<a.A.size();i++){for (int j=0;j<b.B.size();j++){LL k=gcd(a.A[i].x,b.B[j].x);ans=(ans+a.A[i].y*b.B[j].y%mod*k%mod)%mod;}}for (int i=0;i<a.B.size();i++){for (int j=0;j<b.A.size();j++){LL k=gcd(a.B[i].x,b.A[j].x);ans=(ans+a.B[i].y*b.A[j].y%mod*k%mod)%mod;}}for (int i=0;i<a.B.size();i++){for (int j=0;j<b.B.size();j++){LL k=gcd(a.B[i].x,b.B[j].x);ans=(ans+a.B[i].y*b.B[j].y%mod*k%mod)%mod;}}
}int main()
{freopen("space.in","r",stdin);freopen("space.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for (int T=0;T<4;T++){memset(sum,0,sizeof(sum));for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);vis[i]=0;}for (int i=1;i<=n;i++){if (!vis[i]){int j=i,num=0;while (!vis[j]){vis[j]=1;num++;j=a[j];}sum[num]++;}}        for (int i=1;i<=n;i++){if (sum[i]) cir[T].A.push_back((rec){i,sum[i]});}}    getphi(maxp);merge(cir[0],cir[1]);merge(cir[2],cir[3]);getans(cir[0],cir[2]);ans=(ans+(LL)n*(LL)n%mod*(LL)n%mod*(LL)n%mod)%mod;printf("%lld\n",ans);
}

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