取模运算法则,异或运算法则

一.取模运算法则(百度百科)

定义

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。
对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法：，其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法：，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明：
1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性质
若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（13）

二.异或运算法则(维基百科)

在数字逻辑中，逻辑算符互斥或闸（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑分析类型，符号为XOR或EOR或⊕。与一般的逻辑或OR不同，当两两数值相同为否，而数值不同时为真。

两个运算元（命题）：A与B的异或一般写成A异或B，或者写成、、等等。在C语言中，写作A^B。

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以被其他逻辑算符表示为：

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。
异或也可以被表示为：

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

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