画家埃舍尔擅长制作各种充满空间悖论的图画,令人目眩神驰.我在很久以前就欣赏过埃舍尔的绘画,但是那时候我的知识储备并不充分,只是纯粹地欣赏,并没有很多想法.但是今天我偶然地又一次看到了埃舍尔的一幅画，它立马使我想到了集合论里的悖论.这幅画就是

不知读者看懂这幅图没有.我把它解释一下.如果我们认为下面那只手$A_{11}$是真实的,上面那只手$A_{12}$是$A_{11}$画出来的,然而我们发现上面那只手$A_{12}$也画出了下面那只真实的手$A_{11}$，也就是真实的手$A_{11}$正在自己的画中,这显然是荒诞的.

埃舍尔的很多画的很大的一个特点就是自指,正是自指的存在让我们感受到了荒谬.比如,上面的图就存在自指,即,手$A_{11}\to A_{12} \to A_{11}$,真实的手画出了另一只手,但是画出的那另一只手却反过来画出了真实的手本身.这让我们感受到了荒诞.

反之,如果没有自指,发生的就是如下情况:$A_{11}\to A_{12}\to A_{21}\to A_{22}\to A_{31}\to A_{32}\to\cdots$,即由真实的手开始,一只只手不断地画下去,但是绝对不会在某一个地方画出真实的手本身来,此时将不会产生任何矛盾,当然由自指带来的矛盾所产生的奇异感也就失去了.

我们再看埃舍尔的另外一幅经典画作品“画廊”.

画中的故事从这幅画中的画廊入口处开始,版画在墙上展示,有一个男士（右下角门口处）凝视着这幅画.左侧一个青年比门口处的男子要放大了许多，而该青年看的画也在扩大，一直到达窗边有一个老妇人的建筑物下并与其相连.因此在这个建筑的下面成了画廊,同时,本来是看版画的青年,却成了版画中的人物.

和第一幅画的原理一样,看画的青年竟然在自己所看的画中.这也设计到自指.

我们再来欣赏一个例子.

在该图画中,一截楼梯不断地抬高,最后竟然抬高到了自己！这也涉及到了自指.本来一阶楼梯即使无限抬高上去,但是不抬高到自己还是说的过去的.然而阶梯一直抬高,以至于最后抬高到了自己，就说不过去了,因为一阶楼梯不可能自己比自己高的！

埃舍尔画作的精妙之处在于,既构造了自指悖论,让观赏者从理性上认识到画中的情形是不可能实现的,但是又借助于其高超的视觉欺骗艺术,让荒诞的情节在视觉下变得似乎很合理.

自指和集合论中著名的罗素悖论也有关系.罗素悖论说:

如果存在一个集合$A$,$A$的元素是那些不属于自身的集合,那么$A$到底属于还是不属于自身?

如果$A$属于自身,容易推出$A$不可能属于自身.如果$A$不属于自身,那么容易推出$A$其实应该属于自身.而$A$要么属于自身,要么不属于自身.但是无论哪种情形都将带来逻辑上的矛盾.

罗素悖论给数学世界带来了第三次危机.后来解决它的方法是在集合论里引入一条正则公理:

正则公理:若A是非空集合，则A中必含有元素，该元素或者不是集合，若是集合，则与A不相交.

由正则公理，可以推出一个集合不可能属于自身(详细的论证请参见我的博文 羅素悖論和正則公理).由此圆满解答了罗素悖论.从上面的三个埃舍尔的画作角度来看,正则公理的意义就在于表明

“真实的手不可能出现在那只手正在画的画中”

“看图画的人不可能正在自己看的那幅图画中”

“一阶楼梯不断抬高，不可能在某个时候抬高到自己”.

这三者都是“一个集合不可能属于自身”的具体表现,其中“属于”这个关系分别表现为“画出”,"出现在画中","阶梯抬高".