【数学思维】Quasi-convex and quesi-concave

Convex function 定义如下
f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + ( 1 − λ ) f ( y ) f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)
Quasi-convex function 定义如下
f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≤ max ⁡ { f ( x ) , f ( y ) } f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \max\{f(x),f(y)\} f(λx+(1−λ)y)≤max{f(x),f(y)}
Concave function 定义如下
f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x ) + ( 1 − λ ) f ( y ) f(\lambda x+(1-\lambda)y)\ge \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) f(λx+(1−λ)y)≥λf(x)+(1−λ)f(y)
Quasi-concave function 定义如下
f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) ≥ min ⁡ { f ( x ) , f ( y ) } f(\lambda x+(1-\lambda)y)\ge \min\{f(x),f(y)\} f(λx+(1−λ)y)≥min{f(x),f(y)}
可以看出quasi-convex的条件比convex的要弱，满足convex的条件一定满足quasi-convex的条件；quasi-concave的条件比concave的要弱，满足concave的条件一定满足quasi-concave的条件。
有如下结论：
- 每个convex function也一定是quasi-convex的，每个concave function也一定是quasi-concave的。
- concave function也有可能是quasi-convex的。
- 任何单调函数既是quasi-convex的也是quasi-concave的。
- quasi-convex函数可能既不是convex的也不是concave的。
左图是quasi-convex的，但不是convex的。右图不是quasi-convex的。

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