一、如何判断一个链表是否有环？

二、如何证明fast和slow不会在回环中错过，永远都遇不上？

三、为什么slow走1步，fast走的是2步？能不能fast一次走3或者n步？

（1）fast走3步，slow走1步的情况。

（2）fast走4步，slow走1步的情况。

总结：

四、如何求链表回环的入口节点

刷题:

一、如何判断一个链表是否有环？

A:数据结构中的链表入门必学的一种线性结构，那单向链表带环是什么呢？

B:老师又来考我了，这不是送分题吗？单向链表中的一个节点的指针指向之前的节点，形成闭环就是链表带环。

A:那如何判断一个链表是否有环？

B:简单，用快慢指针。先定义两个指向该链表类型的指针，为了方便理解，一个叫fast，一个叫slow。让slow指针一次走1步，让fast指针一次走2步。通过判断fast是否为空，来决定循环是否继续。如此，只会存在两种情况。当fast不为空，只需要在每次行动后判断fast和slow指向的地址是否相同，就可以判断有没有带环。如果fast和slow指向地址相同，说明链表带环（因为只有存在回环，才能让同起点出发且速度更快的fast指针和slow指针相遇）；当fast为空，说明该链表没有形成闭环，没有带环。

二、如何证明fast和slow不会在回环中错过，永远都遇不上？

A:那如何证明fast和slow不会在回环中错过，永远都遇不上？

B:好问题，让我想想。。。。。。

B:为什么呢？我好像明白这样是可以的，但是要怎么证明？

A:那就让我来讲解为什么slow指针走一步，fast指针走两步在在回环中不会错过且一定可以遇上。

第一步：fast和slow指针从链表的第一个节点开始走，fast一次走两步，slow一次走一步。

第二步：fast速度是slow的一倍，如果链表不带环，fast肯定会先到链表末尾。如果链表带环，fast会比slow先进入回环。

第三步：slow在fast之后进回环，且一定经过会在入环点。当slow在入环点时，fast和slow会相差一段距离，假设距离为N步。

第四步：fast每次都会比slow多走一步。从相对运动的角度来看，slow对于fast来说每次都会更接近一步的距离。从slow入环时，fast和slow相距N步，到每一次循环距离都会减1。作为正整数的N肯定会被减到0，因此，fast肯定会与slow相遇且不会错过。

B:对对对，我就是怎么想的，就是说不上来。

三、为什么slow走1步，fast走的是2步？能不能fast一次走3或者n步？

A:那为什么slow走1步，fast走的是2步？能不能fast一次走3或者n步？（n为比3大的正整数）

B:老师我懂了。我认为如果fast不是2步，会出问题。

（1）fast走3步，slow走1步的情况。

第一步：fast和slow指针从链表的第一个节点开始走，fast一次走3步，slow一次走1步。

第二步：fast速度比slow快。如果链表不带环，fast肯定会先到链表末尾。如果链表带环，fast会比slow先进入回环。

第三步：slow在fast之后进回环，且一定经过会在入环点。当slow在入环点时，fast和slow会相差一段距离，假设距离为N步。

第四步：fast每次都会比slow多走2步。从相对运动的角度来看，slow对于fast来说每次距离都会减少2步。但是，当fast快要接近slow时会出现两种情况。第一种是fast和slow距离为0，两者相遇。第二种是fast和slow距离差1，当fast下一次行动时就会和slow错过，fast和slow的距离就是K-1。（K为链表回环的节点个数）如果K为偶数，K-1就是奇数。说明fast和slow距离相差次数不可能被2减为0。因此fast每次都会和slow错过。如果K为奇数，K-1就是偶数。那么fast和slow的距离是可以被2减为0的，fast会和slow相遇。

下面总结fast走3步，slow走1步有两种情况会遇上：（1）当slow指针进入圆环时，fast和slow相距距离为偶数（2）链表回环中的节点个数为奇数

（2）fast走4步，slow走1步的情况。

第一步：fast和slow指针从链表的第一个节点开始走，fast一次走4步，slow一次走1步。

第二步：fast速度比slow快。如果链表不带环，fast肯定会先到链表末尾。如果链表带环，fast会比slow先进入回环。

第三步：slow在fast之后进回环，且一定经过会在入环点。当slow在入环点时，fast和slow会相差一段距离，假设距离为N步。

第四步：fast每次都会比slow多走3步。从相对运动的角度来看，slow对于fast来说每次距离都会减少3步。当fast快要接近slow时会出现下面这种情况。

当fast和slow距离差1，当fast下一次行动时就会和slow错过，fast和slow的距离就是K-1。（K为链表回环的节点个数）当fast第二次接近slow时，他们之间的距离会差2，当fast下一次行动时就会和slow错过，fast和slow的距离就是K-2。当fast第三次接近slow时，他们之间的距离会差3，当fast下一次行动时就会和slow相遇，fast和slow的距离就是0。

可以看出，fast走4步，slow走1步会出现每3次fast靠近slow，只有1次相遇，其他两次都错过。

总结：

当slow走1步，fast得走n步。n为偶数，fast和slow一定相遇。n为奇数，fast和slow可能会相遇。n为3到3以上的步数一定会存在fast与slow错过的情况，且偶数的n越大，在fast接近slow的次数相同时，错过的概率就越大。n为奇数视情况而定，主要分析slow在入环点时，fast和slow的距离N，和fast与slow第一次错过的距离K。

四、如何求链表回环的入口节点

根据先前分析，我们知道了fast指针走2步，slow指针走1步一定会在回环中相遇。由此当fast和slow第一次在回环中相遇时，我们可以得到以下信息，为了方便理解，我们通过图的方式，展现各个数值的具体意义。

fast和slow在回环中第一次相遇时，fast在回环中走过n圈（n最小为1），slow不可能在回环中走过1圈（不明白可以看上一篇文章）。因此，假设slow从回环入口节点处走C步时，便会与fast相遇。可以得到slow走了X+C步，fast走了X+C+nK步（K表示回环一圈的步数）。由于fast走的步数是slow的一倍，所以2(X+C) = X+C+nK。

简化式子：(X+C) = nK

我们需要求得是回环入口节点的位置，所以需要得到的是X等于什么？

根据需求，我们可以将式子转换为：X = nK-C

上式中可以得到从链表头走到回环入口节点需要从相遇点走n圈减C的路程（n圈减C的路程也就是在相遇点位置走到回环入口的步数加n-1圈的步数）。

简而言之，只需要在fast和slow第一次相遇时，记录相遇点的位置。从相遇点走X步就会到达回环入口节点，X步数是链表头到相遇点的距离。两者走相同步数到达的同一地点，就是相遇点的位置。

刷题:

需要动手实践的小伙伴可以点后面的链接进入力扣的环形链表II（力扣）

下面是验证代码和力扣刷题图片：

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     struct ListNode *next;* };*/
struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head) {struct ListNode *fast = head;struct ListNode *slow = head;while(fast && fast->next){fast = fast->next->next;slow = slow->next;if(fast == slow){struct ListNode *meet = fast;struct ListNode *ret = head;while(meet != ret){meet = meet->next;ret = ret->next;}return meet;}}return NULL;
}

如有不当之处，感谢各位大佬指正。

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（1）fast走3步，slow走1步的情况。

（2）fast走4步，slow走1步的情况。

总结：

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刷题:

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