文章目录

希腊字母与动态策略
- Delta
- - Delta对冲
  - 交易费用
  - 利用远期和期货
  - delta中性
- Theta
- Gamma
- - Gamma中性
- Vega中性
- Delta，theta，和gamma的关系
- 希腊字母总结
- - 对冲的现实性
  - 情景分析

希腊字母与动态策略

每个希腊值都是用来度量期权头寸的某种特定风险，为了将风险保持在可以接受的范围之内，交易员的目的就是管理这些希腊值。

裸露头寸和带保头寸：

裸露头寸不采取任何对冲措施。带保头寸中，金融机构在卖出期权的同时也买入100000股股票。

这两种策略都不是很好的对冲交易策略，会给银行带来显著的风险。

止损交易策略（Stop-Loss Strategy）：在股票价格刚刚高于 K K K 时马上买入股票，而在股票价格刚刚低于 K K K 时马上卖出股票。即股票价格刚刚低于 K K K 时，采用裸露头寸策略，股票价格刚刚高于 K K K 时，采用带保头寸策略。

Delta

Delta（ Δ \Delta Δ）是期权价格变动与其标的资产价格变动的比率，是描述期权价格与标的资产之间关系曲线的切线斜率。

令 f t f_t ft 表示期权价格， S t S_t St 表示标的资产的价格，则：
Δ t = ∂ f ∂ S \Delta_t=\frac{\partial f}{\partial S} Δt=∂S∂f
B-S-M定价中，无收益资产欧式看涨期权定价公式为 c t = S t N ( d 1 ) − X e − r ( T − t ) N ( d 2 ) c_t=S_tN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2) ct=StN(d1)−Xe−r(T−t)N(d2)，相应的无收益资产欧式看跌期权的定价公式为 p t = X e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) − S t N ( − d 1 ) p_t=Xe^{-r(T-t)}N(-d_2)-S_tN(-d_1) pt=Xe−r(T−t)N(−d2)−StN(−d1)，从而：
看涨： Δ t = N ( d 1 ) 看跌： Δ t = − N ( − d 1 ) = N ( d 1 ) − 1 看涨：\Delta_t=N(d_1)\\看跌：\Delta_t=-N(-d_1)=N(d_1)-1 看涨：Δt=N(d1)看跌：Δt=−N(−d1)=N(d1)−1

Delta对冲

Delta对冲就是使组合中来自股票的收益或损失（在一小段时间上）完全由期权的损失或收益抵消掉。

组合： N s N_s Ns 股股票+ N c N_c Nc 个看涨期权

组合的价值： V = N s S + N c c = N c ( h S + c ) V=N_sS+N_cc=N_c(hS+c) V=NsS+Ncc=Nc(hS+c)，其中 h = N s N c h=\dfrac{N_s}{N_c} h=NcNs 称为对冲比率。

为实现完全对冲，令 ∂ V ∂ S = h + ∂ c ∂ S = 0 \dfrac{\partial V}{\partial S}=h+\dfrac{\partial c}{\partial S}=0 ∂S∂V=h+∂S∂c=0，得到 h = − ∂ c ∂ S h=-\dfrac{\partial c}{\partial S} h=−∂S∂c，称为期权的delta（ Δ c \Delta_c Δc）。

对冲策略要不断地调整，因为 Δ \Delta Δ 会变动，要进行再平衡（rebalanced）。

交易费用

衍生产品交易商一般每天都会将其头寸重新平衡一次，以便使其为delta中性。如果交易商持有关于某种资产上少量的期权，这时按以上所描述方式进行对冲将会引发大量的交易费用，但对一个很大的期权组合进行对冲时，delta中性就会切实可行。此时只要进行一笔标的资产交易就可以将整个期权组合的delta中性化，交易费用也会被许多其他交易盈利所承受。

利用远期和期货

没有分红的远期合约： Δ = 1 \Delta=1 Δ=1

分红率为 q q q 的远期合约： Δ = e − q T \Delta=e^{-qT} Δ=e−qT。

期货的delta是： Δ = ∂ F ∂ S = e ( r − q ) T \Delta=\dfrac{\partial F}{\partial S}=e^{(r-q)T} Δ=∂S∂F=e(r−q)T

delta中性

组合： { − 1 ：看涨期权 + Δ c ：股票（ 0 < Δ c < 1 ） \begin{cases}-1：看涨期权\\+\Delta_c：股票（0<\Delta_c<1）\end{cases} {−1：看涨期权+Δc：股票（0<Δc<1）

Delta中性组合包括的期权总比股票多。

因为 Δ c \Delta_c Δc 随股票价格变化而不断变化，为获得一个delta中性头寸，需对组合不断进行调整，即进行动态对冲。

Delta对冲只对股票价格的少量变化提供对冲，而当股票价格变化巨大，或波动率、无风险利率、到期时间等发生变化时，需其他的对冲策略。

Theta

Theta（ Θ \Theta Θ）用于衡量衍生品价格对时间变化的敏感度，是在其他条件不变情况下衍生品价格变化与时间变化的比率，即衍生品价格对时间t的偏导数。

theta有时称为组合的时间损耗（time decay）。
Θ t = ∂ f ∂ t Θ ( c a l l ) = − S 0 N ′ ( d 1 ) σ 2 T − r K e − r T N ( d 2 ) Θ ( p u t ) = − S 0 N ′ ( d 1 ) σ 2 T + r K e − r T N ( − d 2 ) N ′ ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 \Theta_t=\frac{\partial f}{\partial t}\\\Theta(call)=-\frac{S_0N'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}}-rKe^{-rT}N(d_2)\\\Theta(put)=-\frac{S_0N'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}}+rKe^{-rT}N(-d_2)\\N'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} Θt=∂t∂fΘ(call)=−2T S0N′(d1)σ−rKe−rTN(d2)Θ(put)=−2T S0N′(d1)σ+rKe−rTN(−d2)N′(x)=2π 1e−x2/2

Gamma

Gamma是交易组合delta的变化与标的资产价格变化的比率。这是交易组合关于标的资产的资产价格的二阶偏导数：
Γ = ∂ 2 f ∂ S 2 = ∂ Δ ∂ S \Gamma=\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=\frac{\partial\Delta}{\partial S} Γ=∂S2∂2f=∂S∂Δ
对于delta中性的交易组合：
Δ Π = Θ Δ t + 1 2 Γ Δ S 2 \Delta\Pi=\Theta\Delta t+\frac{1}{2}\Gamma\Delta S^2 ΔΠ=ΘΔt+21ΓΔS2

股票或股票期货的gamma都是零，因此改变期权组合gamma值的惟一方法是建立其他期权的头寸。但把其他期权加入后，组合的delta将发生变化，还要重新调整股票或股票期货的头寸来维持组合的delta中性。

Gamma中性

假如一个delta中性交易组合的gamma为 Γ \Gamma Γ，而一种正在交易的期权的gamma为 Γ T \Gamma_T ΓT。如果决定将 w T w_T wT 数量的期权加入交易组合中，此时交易组合的gamma为：
w T Γ T + Γ w_T\Gamma_T+\Gamma wTΓT+Γ
要使gamma中性：
w T Γ T + Γ = 0 w T = − Γ / Γ T w_T\Gamma_T+\Gamma=0\\w_T=-\Gamma/\Gamma_T wTΓT+Γ=0wT=−Γ/ΓT

Vega中性

vega用于衡量衍生品的价值对标的资产价格波动率的敏感度，等于衍生品价格对标的资产价格波动率 σ \sigma σ 的偏导数，即：
V t = ∂ f ∂ σ V_t=\frac{\partial f}{\partial\sigma} Vt=∂σ∂f
若期权的vega大，说明其敏感于波动率的微小变化。对股票或股票指数的期权，当期权处于平值时vega最大，当处于深实值或虚值时，vega为零。

股票或股票期货的vega都是零，因此改变期权组合vega值的惟一方法是加入可交易期权。

Delta，theta，和gamma的关系

由Black-Scholes微分方程可以得到：
Θ + r S Δ + 1 2 ( σ S ) 2 Γ = r f \Theta+rS\Delta+\frac{1}{2}(\sigma S)^2\Gamma=rf Θ+rSΔ+21(σS)2Γ=rf
一个delta中性组合的 Θ \Theta Θ 和 Γ \Gamma Γ 是负相关的。

希腊字母总结

Delta： Δ = ∂ f / ∂ S \Delta=\partial f/\partial S Δ=∂f/∂S

Theta： Θ = ∂ f / ∂ T \Theta=\partial f/\partial T Θ=∂f/∂T

Gamma： Γ = ∂ 2 f / ∂ S 2 \Gamma=\partial^2f/\partial S^2 Γ=∂2f/∂S2

Vega： V = ∂ f / ∂ σ V=\partial f/\partial\sigma V=∂f/∂σ

Rho： ρ = ∂ f / ∂ r \rho=\partial f/\partial r ρ=∂f/∂r

执行价： ∂ f / ∂ K \partial f/\partial K ∂f/∂K
d f = Δ d S + 1 2 Γ ( d S ) 2 + Θ d t + ρ d r + V d σ df=\Delta dS+\frac{1}{2}\Gamma(dS)^2+\Theta dt+\rho dr+Vd\sigma df=ΔdS+21Γ(dS)2+Θdt+ρdr+Vdσ

对冲的现实性

金融机构的交易员可以随时调整对冲交易以确保投资组合的所有希腊值均为0。为了确保交易组合的delta为0或接近于0，交易员通常是至少每天都重新平衡一次组合。

每当机会出现时，他们就会改进Gamma和Vega。

当投资组合变得更大，套期保值变得更便宜。

情景分析

这种分析包括计算在某一指定时间内许多不同情形下交易组合的盈亏，分析中时间长度的选择通常与产品的流通性。分析中所采用的情形可由管理人员选定，也可由模型来产生。

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