当单调栈遇到了前前缀和（Leetcode 2281. 巫师的总力量和、力扣第 294 场周赛第 4 题）

2281. 巫师的总力量和（力扣第 294 场周赛第 4 题）

这道题做起来比较复杂。需要单调栈、前缀和、数学计算。

一句话概括思路：在 907. 子数组的最小值之和中，是对每个 min 乘以管辖范围内子数组的个数，现在是对每个min 乘以管辖范围内所有子数组的总和，这就需要前缀和的计算。

大致思想是这样的：一个子数组被遍历的标识，就是计算了这个子数组的最小值 × 和。只要把所有最小值和对应子数组的和给遍历完了，整个数组就遍历完了。

现在，我们有最小值 arr[0]，最小值 arr[1]，…… 最小值 arr[n - 1]，每个都唯一对应着一个管辖范围（区间），这个区间上，有很多子数组。设区间左端点下标为 L，右端点下标为 R，可计算有 (i - L + 1) * (R - i + 1) 个子数组。这些子数组的和是可以求出来的。

每个子数组的和，可以通过两端点的前缀和计算得到。因此一共对应 2 * (i - L + 1) * (R - i + 1) 个前缀和。这个式子是 O(N^2) 的时间复杂度，然后 i 还要从 0 遍历到 len - 1，共 O(N^3) 时间复杂度，不可取：

for(i: 0 to arr.length - 1)计算 L, R// 遍历 L 到 R 上的所有子数组，将和加入 resfor(l: L to i)for(r: i to R)res += sum(arr, j, k)

计算和的那两个 for 循环能否优化一下呢？我们发现，sum(arr, l, r) 是通过前缀和来计算的。我们可计算原数组 arr 的前缀和 s，其中 s[i] 表示 arr[0] + arr[1] + … + arr[i]。那么 sum(arr, l, r) 可以拆开来：s[r]-s[l - 1]。两个 for 循环拿数学表达式写一下，就是这个样子： ∑ j = L i ∑ k = i R s [ r ] − s [ l − 1 ] \sum_{j=L}^{i}\sum_{k=i}^{R} s[r]-s[l-1] ∑j=Li∑k=iRs[r]−s[l−1]。化简得 ( i − L + 1 ) ∑ r = i R s [ r ] − ( R − i + 1 ) ∑ l = L i s [ l − 1 ] (i-L+1)\sum_{r=i}^{R}s[r]-(R-i+1)\sum_{l=L}^{i}s[l-1] (i−L+1)∑r=iRs[r]−(R−i+1)∑l=Lis[l−1]。其中 ∑ r = i R s [ r ] \sum_{r=i}^{R}s[r] ∑r=iRs[r]和 ∑ l = L i s [ l − 1 ] \sum_{l=L}^{i}s[l-1] ∑l=Lis[l−1]都是前前缀和，在线算法，时间空间复杂度都是 O(N)。

通过数学计算，整个问题的时间复杂度压缩到 O(N)。

但为什么能通过数学计算来压缩呢？我们可以画个图，然后就明白了。

当确定 i 对应的 L 和 R 后，l 和 r 就可以在 [L, i] 和 [i, R] 上移动以形成子数组。把这两段长度相乘，也就得到 (i - L + 1) * (R - i + 1)，也就是前面说的子数组个数。

那么，我们固定 l，移动 r 时，以上图 5 个子数组为例，它们的和为 (s[i] - s[L]) + (s[i + 1] - s[L]) + (s[i + 2] - s[L]) + (s[i + 3] - s[L]) + (s[i + 4] - s[L]) 。如果不是这样的计算步骤，而是先把 5 个 s[r] 的值累加，然后再减去 5 个 s[l]，那么结果会是：s[i] + s[i + 1] + s[i + 2] + s[i + 3] + s[i + 4] - 5 * s[L]。

其中，s[i] + s[i + 1] + s[i + 2] + s[i + 3] + s[i + 4]是前缀和数组计算某个区间内的总和问题，因此可通过前前缀和来解决。

Java 代码如下：

public class Solution {int mod = 1000000007;/* 通过原数组，计算前缀和数组，以及通过前缀和数组，计算前前缀和数组。 */public int[] getPrefixSum(int[] arr) {if (arr.length == 0) {return new int[0];}int[] preSum = new int[arr.length];preSum[0] = arr[0];for (int i = 1; i < arr.length; i++) {preSum[i] = (preSum[i - 1] + arr[i]) % mod;}return preSum;}/* 通过前缀和数组计算区间和 */public int getSum(int[] preSum, int left, int right) {if (right < 0) {return 0;}if (left <= 0) {return preSum[right];}return (preSum[right] - preSum[left - 1] + mod) % mod;}/* 计算“管辖区域” */public void getCorner(int[] arr, int[] left, int[] right) {Stack<Integer> stack = new Stack<>();for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// pop up some bigger value from the stackwhile (!stack.isEmpty() && arr[stack.peek()] > arr[i]) {int pop = stack.pop();// get corner of popint leftCorner = 0;if (!stack.isEmpty()) {leftCorner = stack.peek() + 1;}left[pop] = leftCorner;right[pop] = i - 1;}stack.push(i);}while (!stack.isEmpty()) {int pop = stack.pop();int leftCorner = 0;if (!stack.isEmpty()) {leftCorner = stack.peek() + 1;}left[pop] = leftCorner;right[pop] = arr.length - 1;}}/* 计算前缀和数组和前前缀和数组，以及管辖区域，然后对每个 arr[i]，计算以 arr[i] 为 min 的子数组的和，再与 min 相乘。最后累加到 res 中。 */public int totalStrength(int[] arr) {int[] preSum = getPrefixSum(arr);int[] prePreSum = getPrefixSum(preSum);int[] left = new int[arr.length];int[] right = new int[arr.length];getCorner(arr, left, right);int res = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {int L = left[i];int R = right[i];res = (int) ((res + arr[i] * ((long) (i - L + 1) *getSum(prePreSum, i, R) % mod - (long) (R - i + 1) *getSum(prePreSum, L - 1, i - 1) %mod + mod) % mod) % mod);}return res;}
}

（注：写作过程中，参考以下资料：
https://www.bilibili.com/video/BV1RY4y157nW?t=1065.7）

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