范数的物理意义(转)
在介绍主题之前,先来谈一个非常重要的数学思维方法:几何方法。在大学之前,我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等,方程则是求函数的零点;到了大学,我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质,函数是数学一条重要线索,另一条重要线索——几何,在函数的研究中发挥着不可替代的作用,几何是函数形象表达,函数是几何抽象描述,几何研究“形”,函数研究“数”,它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。
函数图象联系了函数和几何,表达两个数之间的变化关系,映射推广了函数的概念,使得自变量不再仅仅局限于一个数,也不再局限于一维,任何事物都可以拿来作映射,维数可以是任意维,传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系,这就要求我们在观念中,把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。
由于映射的对象可以是任何事物,为了便于研究映射的性质以及数学表达,我们首先需要对映射的对象进行“量化”,取定一组“基”,确定事物在这组基下的坐标,事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点,事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射,而映射本身也是事物,自然也可以抽象为映射空间中的一个点,这就是泛函中需要研究的对象——函数。
从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射,可以用一个矩阵来表达,矩阵被看线性作映射,线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得,比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数,可逆矩阵反映了线性映射的可逆,而矩阵的范数又反映了线性映射的哪些方面的性质呢?矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量,向量的“长度”缩放的比例。
范数是把一个事物映射到非负实数,且满足非负性、齐次性、三角不等式,符合以上定义的都可以称之为范数,所以,范数的具体形式有很多种(由内积定义可以导出范数,范数还也可以有其他定义,或其他方式导出),要理解矩阵的算子范数,首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数,是由向量范数导出的,由形式可以知:
或方阵
由矩阵算子范数的定义形式可知,矩阵A把向量x映射成向量Ax,取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量Ax范数最大值作为矩阵A的范数,即矩阵对向量缩放的比例的上界,矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知,矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径(最大特征值的绝对值),矩阵算子范数对应一个取到向量Ax范数最大时的向量x方向,谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解SVD,分解成左右各一个酉阵,和拟对角矩阵,可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转,奇异值,就是缩放的比例,最大奇异值就是谱半径的推广,所以,矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值,酉阵在此算子范数的意义下,范数大于等于1。此外,不同的矩阵范数是等价的。
范数理论是矩阵分析的基础,度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数,范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。
范数的物理意义(转)相关推荐
- 矩阵相关概念的物理意义
参考链接: 矩阵乘法的本质是什么? 条件数 病态矩阵与条件数(&& 与特征值和SVD的关系) 矩阵的物理意义: https://blog.csdn.net/NightkidLi_911 ...
- 傅立叶变换物理意义解析进阶
1.为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法.要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义.傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表 ...
- 【转】卷积的本质及物理意义(全面理解卷积)
转自:卷积的本质及物理意义(全面理解卷积)_彼岸花-CSDN博客_卷积的物理意义 卷积的本质及物理意义 提示:对卷积的理解分为三部分讲解1)信号的角度2)数学家的理解(外行)3)与多项式的关系 1 来 ...
- 点乘和叉乘及其物理意义(C++STL实现)
一些错误观念的澄清,比如数学意义上的点积和叉积并不对应matlab程序中的.*(按位相乘)和*(矩阵乘法) 内积的物理意义 一种向量到标量的映射 两向量的夹角的计算 两向量是否正交的判断 两向量的相似 ...
- 傅里叶变换,其物理意义是什么?(转)
1 .为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法.要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义.傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以 ...
- 傅立叶变换的物理意义(转)
通俗易懂的傅立叶分析入门 http://download.csdn.net/source/2209943 1.为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算 ...
- 整理:卷积的直观理解、物理意义与本质(四)
那片云:看了后有很大的收获,开始主文及回复均非常精彩.对理解卷积的数学物理意义很有帮助. 下面说一下我的理解: 1.卷积是求累积值,就是某一时刻的反应,是多个反应的叠加值. 2.既然如一,就有2.1任 ...
- 再讲卷积的本质及物理意义,解释的真幽默!
来源:电子工程专辑 编辑 ∑Gemini 分三个部分来理解: 1.信号的角度 2.数学家的理解(外行) 3.与多项式的关系 >>>> 卷积这个东东是"信号与系统&qu ...
- 图像的傅里叶变换,二维傅里叶变换的物理意义
从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变 ...
最新文章
- VS2017报错---无可用源
- android textview参差不齐,android textView 排版显示参差不齐的解决方法
- 07--MySQL自学教程:DQL(Data Query Language:数据库查询语言)简介、基础查询、条件查询、模糊查询以及排序(一)
- android输入法源码分析,基于Android的输入法的设计与实现.doc
- (八)ThreadLocal的使用及原理分析
- AIX逻辑卷管理(LVM)
- linux课堂笔记(3)
- 在Wordpress的文章页面获取上一页及下一页的链接URL地址,实现通过键盘的前进后退键进行翻页
- 【java】java 协程
- docker java mysql_docker搭建tomcat+mysql容器并部署Java系统
- 全面挖掘Java Excel API 使用方法
- [历朝通俗演义-蔡东藩-前汉]第008回 葬始皇骊山成巨冢 戮宗室豻狱构奇冤
- poythoncode-实战3--判断输入参数--过滤条件
- java开发之权限管理详解
- 面试(软件实施工程师)
- pcl小知识(十二)—— 斯坦福兔子和其他图形学模型数据下载
- 关于英伟达显卡驱动程序(GeForce)无法下载的问题
- JVM实战(二一): -Xss -Xms -Xmx -Xmn 参数设置
- 与时间赛跑!阿里云医疗 AI | 心血管识别技术
- linux 使用rename命令批量重命名文件