1. 函数插值

函数插值问题：　用形式简单的插值函数 f^(x)\hat f(x)f^(x) 近似原函数

(1)\qquad(1)(1) 设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在某个区间上有定义，并且已知该区间上的一些数据点 {xi,yi}\{x_i,y_i\}{xi,yi} 严格满足 yi=f(xi),i=1,⋯,Ny_i=f(x_i),i=1,\cdots,Nyi=f(xi),i=1,⋯,N，这些数据点称为“控制节点”或“插值节点”

(2)\qquad(2)(2) 如果存在一个形式上比较简单（比如 nnn 次多项式）的函数 f^(x)\hat{f}(x)f^(x)，使得 f^(xi)=yi,i=1,⋯,N\hat f(x_i)=y_i,i=1,\cdots,Nf^(xi)=yi,i=1,⋯,N 都成立，就称 f^(x)\hat{f}(x)f^(x) 为 f(x)f(x)f(x) 的插值函数。

\qquad典型的函数插值方法：拉格朗日插值和牛顿插值、HermiteHermiteHermite插值、样条插值等。

与“函数逼近”的主要区别：
插值函数 f^(x)\hat f(x)f^(x) 必须经过“插值节点”，也就是要满足 f^(xi)=yi,i=1,⋯,N\hat f(x_i)=y_i,i=1,\cdots,Nf^(xi)=yi,i=1,⋯,N

2. RBF函数插值

\qquad与拉格朗日插值之类的常规函数插值不同，基于核函数的函数插值“通过引入核函数”来刻画数据的局部化特征。

\qquad径向基函数 (Radial Basis Function,RBF)\text{(Radial\ Basis\ Function,RBF)}(Radial Basis Function,RBF) 就是一类特殊的基函数，最常用的就是“高斯基函数”，定义为：

φ(x)=e−x22σ2\qquad\qquad\qquad\varphi(x)=e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}φ(x)=e−2σ2x2　　(以一维情况为例)

\qquad
RBF函数插值：　f^(x)=∑i=1Nwiφ(∥x−xi∥)\hat{f}(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^Nw_i\varphi(\parallel x-x_i\parallel)f^(x)=i=1∑Nwiφ(∥x−xi∥)

\qquad假设有 NNN 个插值节点，也就是已知 {xj,yj}∣j=1N\{x_j,y_j\}\big |_{j=1}^N{xj,yj}∣∣j=1N，其中 f^(xj)=yj=f(xj)\hat{f}(x_j)=y_j=f(x_j)f^(xj)=yj=f(xj)，如下图所示。

\qquad

图中，红色实线为真实函数曲线，绿色空心圆圈代表插值节点 (xj,yj)(x_j,y_j)(xj,yj)，蓝色实心点为RBF插值所求得的权值 wjw_jwj

\qquad将 {xj,yj}∣j=1N\{x_j,y_j\}\big |_{j=1}^N{xj,yj}∣∣j=1N 带入方程 f^(x)=∑i=1Nwiφ(∥x−xi∥)\hat{f}(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^Nw_i\varphi(\parallel x-x_i\parallel)f^(x)=i=1∑Nwiφ(∥x−xi∥)，可得到：

[φ11φ12⋯φ1Nφ21φ22⋯φ2N⋮⋮⋮φ11φ12⋯φ1N]⏟Φ[w1w2⋮wN]⏟W=[y1y2⋮yN]⏟y\qquad\qquad\underbrace{\left[ \begin{matrix} \varphi_{11} & \varphi_{12} & \cdots & \varphi_{1N} \\ \varphi_{21} & \varphi_{22} & \cdots & \varphi_{2N} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \varphi_{11} & \varphi_{12} & \cdots & \varphi_{1N} \end{matrix} \right] }_{\Phi}\underbrace{ \left[ \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_N \end{matrix} \right]}_{\bold W}=\underbrace{\left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_N \end{matrix} \right]}_{\bold y}Φ⎣⎡φ11φ21⋮φ11φ12φ22⋮φ12⋯⋯⋯φ1Nφ2N⋮φ1N⎦⎤W⎣⎡w1w2⋮wN⎦⎤=y⎣⎡y1y2⋮yN⎦⎤，其中 φji=φ(∥xj−xi∥)\varphi_{ji}=\varphi(\parallel x_j-x_i\parallel)φji=φ(∥xj−xi∥)

\qquad
\qquad其中，Φ=[φji]\Phi=[\varphi_{ji}]Φ=[φji] 为插值矩阵。因为 φji=φ(∥xj−xi∥)=φij\varphi_{ji}=\varphi(\parallel x_j-x_i\parallel)=\varphi_{ij}φji=φ(∥xj−xi∥)=φij，因此插值矩阵是对称的。对于高斯核函数而言，插值矩阵的对角线元素的值为 111。

\qquad将线性方程组记为 ΦW=y\Phi\bold W=\bold yΦW=y，该方程组的第 jjj 行为：

f^(xj)=yj=w1φ(∥xj−x1∥)+w2φ(∥xj−x2∥)+⋯+wNφ(∥xj−xN∥)\qquad\qquad\hat{f}(x_j)=y_j=w_1\varphi(\parallel x_j-x_1\parallel)+w_2\varphi(\parallel x_j-x_2\parallel)+\cdots+w_N\varphi(\parallel x_j-x_N\parallel)f^(xj)=yj=w1φ(∥xj−x1∥)+w2φ(∥xj−x2∥)+⋯+wNφ(∥xj−xN∥)

\qquad因此，可求出 RBF\text{RBF}RBF 插值的系数为：W=Φ−1y\bold W=\Phi^{-1}\bold yW=Φ−1y，其示意图如下图所示。

Micchelli定理可以保证采用高斯函数时，插值矩阵 Φ\PhiΦ 是可逆的（只要插值节点互不相同）。

\qquad

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef gen_data(x1,x2):y_sample = np.sin(np.pi*x1/2)+np.cos(np.pi*x1/3)y_all = np.sin(np.pi*x2/2)+np.cos(np.pi*x2/3)return y_sample, y_alldef kernel_interpolation(y_sample,x1,sig):gaussian_kernel = lambda x,c,h: np.exp(-(x-x[c])**2/(2*(h**2)))num = len(y_sample)w = np.zeros(num)int_matrix = np.asmatrix(np.zeros((num,num)))for i in range(num):int_matrix[i,:] = gaussian_kernel(x1,i,sig)  w = int_matrix.I * np.asmatrix(y_sample).T      return wdef kernel_interpolation_rec(w,x1,x2,sig):gkernel = lambda x,xc,h: np.exp(-(x-xc)**2/(2*(h**2)))num = len(x2)y_rec = np.zeros(num)for i in range(num):for k in range(len(w)):y_rec[i] = y_rec[i] + w[k]*gkernel(x2[i],x1[k],sig)return y_recif __name__ == '__main__':snum = 20   # control point数量ratio = 20  # 总数据点数量：snum*ratiosig = 1     # 核函数宽度xs = -8xe = 8x1 = np.linspace(xs,xe,snum)x2 = np.linspace(xs,xe,(snum-1)*ratio+1)y_sample, y_all = gen_data(x1,x2)plt.figure(1)w = kernel_interpolation(y_sample,x1,sig)   y_rec = kernel_interpolation_rec(w,x1,x2,sig)plt.plot(x2,y_rec,'k')plt.plot(x2,y_all,'r:')        plt.ylabel('y')plt.xlabel('x')for i in range(len(x1)):        plt.plot(x1[i],y_sample[i],'go',markerfacecolor='none')        plt.legend(labels=['reconstruction','original','control point'],loc='lower left')plt.title('kernel interpolation:$y=sin(\pi x/2)+cos(\pi x/3)$')       plt.show()

运行结果：

在相同区间、分别采用 8,12,16,208,12,16,208,12,16,20 个控制节点 (control point)\text{(control\ point)}(control point) 进行函数插值的结果
显然，插值节点过少，无法体现整个函数的特征；插值节点越多，函数插值的结果越精确

扩大插值区间范围，控制节点 (control point)\text{(control\ point)}(control point) 也需要增加数量，才能保持函数插值的准确性

\quad
另外，Scipy\text{Scipy}Scipy 的插值模块也提供了 RBF\text{RBF}RBF 插值，其实现代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import Rbff = lambda x: np.sin(np.pi*x/2)+np.cos(np.pi*x/3)
snum = 20   # control point数量
ratio = 20  # 总数据点数量：snum*ratio
xs = -8
xe = 8
x1 = np.linspace(xs,xe,snum)               # control points
x2 = np.linspace(xs,xe,(snum-1)*ratio+1)  # 作图总数据点
y1 = f(x1)         # control points
rf = Rbf(x1, y1)   # reconstructed Rbf function
y2 = rf(x2)        # Rbf reconstruction
plt.plot(x2, y2, 'k-', x2, f(x2),'r-', x1, y1, 'go', markerfacecolor='none')
plt.legend(["Radial basis functions", "Orignal", "control point"],loc='best')
plt.show()

其运行结果如下：

\quad
此外，RBF\text{RBF}RBF函数插值还可以通过径向基函数网络来实现。

\quad
参考：函数插值的python实现——拉格朗日、牛顿插值

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